《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

12. 已知复数$z_{1} = a(a - 3i)$，$z_{2} = - a + (a^{2} + 2)i(a \in \mathbf{Z})$，且$\vert z_{1} + z_{2}\vert = 2\sqrt{10}$，则$a =$-1或3.

答案： 12.-1或3 【解析】由题意可得$z_1 + z_2 = a^2 - a+(a^2 - 3a + 2)i$，
则$\vert z_1 + z_2\vert=\sqrt{(a^2 - a)^2+(a^2 - 3a + 2)^2}=2\sqrt{10}$，即$a^2(a - 1)^2+(a - 2)^2(a - 1)^2 = 40$，
即$(a - 1)^2(2a^2 - 4a + 4)=40$，故$(a - 1)^2·[(a - 1)^2 + 1]=20$.
因为$a\in Z$，所以$(a - 1)^2 + 1\in Z$，$(a - 1)^2\in Z$，且$(a - 1)^2\geq0$.
因为$20 = 4×5 = 2^2×(2^2 + 1)$，所以$(a - 1)^2 = 4$，解得$a = -1$或$a = 3$.

13. [山东菏泽2024高一期末]若虚数$3 - i$是关于$x$的实系数方程$2x^{2} + mx + n = 0(m,n \in \mathbf{R})$的一个根，则$m =$-12.

答案： 13.-12 【解析】因为$3 - i$是关于$x$的实系数方程$2x^2 + mx + n = 0(m,n\in R)$的一个根，所以方程的另一个虚数根为$3 + i$，
所以$\begin{cases}-\frac{m}{2}=(3 - i)+(3 + i)\frac{n}{2}=(3 - i)(3 + i)\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = -12\\n = 20\end{cases}$.

14. [安徽合肥2025高一月考]复数$z_{1} = - 1 + i$，$z_{2} = 2 - i$，$\vert z - z_{1} - z_{2}\vert = 4$，则$\vert z\vert$的取值范围为[3,5].

答案： 14.$[3,5]$ 【解析】设$z = x + yi(x,y\in R)$，则$\vert z - z_1 - z_2\vert=\vert x - 1 + yi\vert = 4$，所以$(x - 1)^2 + y^2 = 16$，
故设$x - 1 = 4\cos\theta$，$y = 4\sin\theta$，则$\vert z\vert^2=(1 + 4\cos\theta)^2 + 16\sin^2\theta = 1 + 8\cos\theta + 16 + 8\cos\theta=17 + 8\cos\theta$
因为$\cos\theta\in[-1,1]$，所以$\vert z\vert^2\in[9,25]$，所以$\vert z\vert\in[3,5]$.

15. （本小题满分13分）[四川雅安中学2025高一月考]已知复数$z_{1} = a + 2i(a \in \mathbf{R})$，$z_{2} = 1 + 3i$.
（1）若$\frac{z_{1}}{z_{2}} \in \mathbf{R}$，求$a$的值；
（2）若复数$az_{1} - z_{2}$在复平面内对应的点位于第四象限，求$a$的取值范围.

答案： 15.【解】
(1)$\frac{z_1}{z_2}=\frac{a + 2i}{1 + 3i}=\frac{(a + 2i)(1 - 3i)}{(1 + 3i)(1 - 3i)}=\frac{a + 6+(2 - 3a)i}{10}$
因为$\frac{z_1}{z_2}\in R$，所以$2 - 3a = 0$，即$a=\frac{2}{3}$
(2)$az_1 - z_2=(a^2 + 2ai)-(1 + 3i)=a^2 - 1+(2a - 3)i$，
复数$az_1 - z_2$在复平面内对应的点位于第四象限，
则$\begin{cases}a^2 - 1＞0\\2a - 3＜0\end{cases}$，解得$a＜-1$或$1＜a＜\frac{3}{2}$，
即$a$的取值范围为$(-\infty,-1)\cup(1,\frac{3}{2})$

16. （本小题满分15分）[河南南阳六校2025高一期末]已知一元二次方程$px^{2} + qx + 1 = 0(p,q \in \mathbf{R})$的一个根是$1 + 2i$.
（1）求$p$，$q$的值；
（2）若复数$z_{1} = 10p\sin\theta - i$与$z_{2} = \sqrt{3} + (5q\cos\theta)i$相等，求$\tan\theta$的值.

答案： 16.【解】
(1)因为$1 + 2i$是方程$px^2 + qx + 1 = 0$的一个根，所以$1 - 2i$是该方程的另一个根，
所以$\begin{cases}-\frac{q}{p}=(1 - i)+(1 + i)\frac{1}{p}=(1 - i)(1 + i)\end{cases}$
解得$\begin{cases}p=\frac{1}{5}\\q=-\frac{2}{5}\end{cases}$
(2)由
(1)可知$z_1 = 10p\sin\theta - i = 2\sin\theta - i$，$z_2=\sqrt{3}+(5q\cos\theta)i=\sqrt{3}-(2\cos\theta)i$，
因为$z_1 = z_2$，
所以$\begin{cases}2\sin\theta=\sqrt{3}\\-2\cos\theta=-1\end{cases}$，即$\begin{cases}\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}\\\cos\theta=\frac{1}{2}\end{cases}$，
所以$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\sqrt{3}$.

17. （本小题满分15分）设复数$z_{1} = 2 + i$在复平面内对应的向量为$\overrightarrow{AB}$，复数$z_{2} = - 1 + \lambdai(\lambda \in \mathbf{R})$在复平面内对应的向量为$\overrightarrow{BE}$，复数$z_{3} = - 2 + i$在复平面内对应的向量为$\overrightarrow{EC}$，且$A$，$E$，$C$三点共线.
（1）求实数$\lambda$的值；
（2）求$\overrightarrow{BC}$的坐标；
（3）已知点$D(3,5)$，若$A$，$B$，$C$，$D$四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点$A$的坐标.

答案： 17.【解】
(1)复数$z_1 = 2 + i$在复平面内对应的向量$\overrightarrow{AB}=(2,1)$，
复数$z_2=-1+\lambda i(\lambda\in R)$在复平面内对应的向量$\overrightarrow{BE}=(-1,\lambda)$，
复数$z_3=-2 + i$在复平面内对应的向量$\overrightarrow{EC}=(-2,1)$，$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=(2,1)+(-1,\lambda)=(1,\lambda + 1)$.
因为$A,E,C$三点共线，所以存在实数$k$，使得$\overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{EC}$，
所以$(1,\lambda + 1)=k(-2,1)$，
解得$k=-\frac{1}{2},\lambda=-\frac{3}{2}$
(2)由
(1)知$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EC}=(-1,-\frac{3}{2})+(-2,1)=(-3,-\frac{1}{2})$.
(3)因为$A,B,C,D$四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.
设$A(x,y)$，则$\overrightarrow{AD}=(3 - x,5 - y)$，
由
(2)得$\overrightarrow{BC}=(-3,-\frac{1}{2})$，
所以$\begin{cases}3 - x=-3\\5 - y=-\frac{1}{2}\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 6\\y=\frac{11}{2}\end{cases}$，
故点$A$的坐标为$(6,\frac{11}{2})$