《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

1. 下列说法中错误的是(D)

A.在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例
B.余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形
C.利用余弦定理可以解决已知三角形三边求角的问题
D.在三角形中，已知两边及其中一边的对角，不能用余弦定理解三角形

答案： 1.D　[解析]已知两边及其中一边的对角，可用余弦定理先解得第三边，从而解三角形。

2. [北京通州区 2025 高一期中]在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 a = 2，b = √6，c = 4，则 cos B =(C)

A.5/8
B.3/4
C.7/8
D.15/16

答案： 2.C　[解析]在△ABC中，利用余弦定理得，cosB=$\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$=$\frac{4 + 16 - 6}{2×2×4}$=$\frac{7}{8}$。故选C。

3. 教材变式[辽宁省实验中学 2025 高一期中]在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 cos B = -1/3，c = 1，b = 2√3，则 a =(C)

A.2
B.√2
C.3
D.√3

答案： 3.C [解析]在△ABC中，cosB=−$\frac{1}{3}$，c = 1，b = 2$\sqrt{3}$，由余弦定理，得b²=a²+c²−2accosB，即(2$\sqrt{3}$)²=a²+1²−2×a×1×(−$\frac{1}{3}$)，整理得3a²+2a−33=0，解得a = 3或a = -$\frac{11}{3}$(舍)。故选C。
链接教材 本题是教材第43页例5的同类试题，已知两边及一角解三角形，由于余弦定理是三边一角之间的一个等量关系，所以可利用余弦定理先求第三边，若要继续求其他量，可接着再用余弦定理求一个角，最后一个角根据内角和为π即可求解。

4. [湖北武汉部分重点中学 2024 高一期中联考]在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a = 3，b = 2，cos(A + B) = 1/3，则 sin A =(C)

A.2√2/3
B.2√30/15
C.2√34/17
D.2√38/19

答案： 4.C [解析]因为A + B + C = π，所以cos(A + B)=cos(π - C)= - cosC = -$\frac{1}{3}$，即cosC = $\frac{1}{3}$。由余弦定理得c²=a²+b²−2abcosC，即c²=3²+2²−2×3×2×(−$\frac{1}{3}$)=17，解得c = $\sqrt{17}$。由余弦定理得cosA = $\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$ = $\frac{4 + 17 - 9}{2×2×\sqrt{17}}$ = $\frac{3\sqrt{17}}{17}$，因为0＜A＜π，所以sinA＞0，所以sinA = $\sqrt{1 - (\frac{3\sqrt{17}}{17})^2}$ = $\sqrt{1 - \frac{9 × 17}{289}}$ = $\sqrt{\frac{289 - 153}{289}}$ = $\sqrt{\frac{136}{289}}$ = $\frac{2\sqrt{34}}{17}$。故选C。

5. 已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c.若 A + C = 2B，√3 a² + √3 c² - 2ac sin B = 9√3，则 b =(B)

A.3√3
B.3
C.6
D.√3

答案： 5.B [解析]因为A + C = 2B，而A + C + B = π，所以B = $\frac{\pi}{3}$，则$\sqrt{3}a^{2}+\sqrt{3}c^{2}-2ac\sin\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}a^{2}+\sqrt{3}c^{2}-\sqrt{3}ac=9\sqrt{3}$，得a²+c²−ac = 9。根据余弦定理可得b²=a²+c²−2accosB=a²+c²−ac = 9，故b = 3。故选B。

6. [江苏南通如皋 2025 高一调研]在△ABC 中，若(a + b + c)(a - b + c) = ac，则 B =(C)

A.30°
B.60°
C.120°
D.150°

答案： 6.C [解析]由(a + b + c)(a - b + c)=ac，得(a + c)²−b²=ac，则a²+c²−b²= - ac，所以cosB = $\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$ = -$\frac{1}{2}$，由0°＜B＜180°，可得B = 120°。故选C。

7. [重庆西南大学附属中学 2025 高一期中]在△ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边，a : b : c = 4 : 5 : 6，则三角形的最小内角的余弦值为(B)

A.1/8
B.3/4
C.-1/8
D.9/16

答案： 7.B [解析]不妨设a = 4，b = 5，c = 6，则a＜b＜c，所以A＜B＜C。
根据大边对大角确定三角形的最小内角
又cosA = $\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$ = $\frac{25 + 36 - 16}{2×5×6}$ = $\frac{3}{4}$，所以最小内角的余弦值为$\frac{3}{4}$。故选B。

8. 已知 m ＞ 3/2，在钝角三角形 ABC 中，AB = 3m，BC = 5m，AC = m + 6，则 m 的取值范围是(B)

A.(3/2, 6)
B.(2, 6)
C.(3/2, 2)
D.(2, +∞ )

答案： 8.B [解析]因为m＞$\frac{3}{2}$，所以5m - (m + 6)=4m - 6＞0，所以5m＞m + 6。
又5m＞3m＞0，所以A为最大角，则由余弦定理得cosA = $\frac{(3m)^{2}+(m + 6)^{2}-(5m)^{2}}{2×3m(m + 6)}$＜0，整理得(5m + 6)(m - 2)＞0，解得m＜ -$\frac{6}{5}$或m＞2。又m＞$\frac{3}{2}$，所以m＞2。因为m + 6＞5m - 3m，所以m＜6，所以m的取值范围是(2, 6)。故选B。

9. [山东部分学校 2025 高一质量监测]已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 B = 60°，c = 3a，则△ABC 是(C)
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形

答案： 9.C　[解析]由余弦定理可知，cosB = $\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$ = $\frac{1}{2}$。因为c = 3a，所以$\frac{10a^{2}-b^{2}}{6a^{2}}$ = $\frac{1}{2}$，得b²=7a²，即b = $\sqrt{7}a$，则cosC = $\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$ = $\frac{a^{2}+7a^{2}-9a^{2}}{2\sqrt{7}a^{2}}$ = -$\frac{\sqrt{7}}{14}$＜0，则$\frac{\pi}{2}$＜C＜π，cosC与a²+b²−c²同号，从而△ABC是钝角三角形。故选C。

10. [广东广州华南师大附中 2025 高一期中]在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 (a² + b² - c²)/(b² + c² - a²) = a/c，则△ABC 的形状一定是(C)
A. 等边三角形
B. 直角三角形
C. 等腰三角形
D. 等腰直角三角形

答案： 10.C [解析]在△ABC中，由余弦定理得$\frac{a}{c}$ = $\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{b^{2}+c^{2}-a^{2}}$ = $\frac{2ab\cos C}{2bc\cos A}$，整理得cosA = cosC，而A，C∈(0，π)，函数y = cosx在(0，π)上单调递减，因此A = C，所以△ABC是等腰三角形。故选C。

11. [四川绵阳南山中学 2024 高一期中]在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 2a - b = 2c cos B，cos A + cos B = 1，则△ABC 一定是(A)
A. 等边三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 无法确定

答案：
11.A
思路导引 由2a - b = 2c cos B，利用余弦定理代换cosB转化为三边之间的关系，进而可求cosC，再利用三角形内角的取值范围可得C。再结合两角和与差的三角公式可求A，最后利用三角形内角和为π得B，进而判断三角形的形状。
[解析]由2a - b = 2c cosB及余弦定理，可得2a - b = 2c×$\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$，所以a²+b²−c² = ab，所以cosC = $\frac{1}{2}$，又C∈(0，π)，所以C = $\frac{\pi}{3}$。所以A + B = $\frac{2\pi}{3}$。因为cosA + cosB = 1，所以cosA + cos($\frac{2\pi}{3}$ - A)=cosA + cos$\frac{2\pi}{3}$cosA + sin$\frac{2\pi}{3}$sinA = cosA - $\frac{1}{2}$cosA + $\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA = 1，即$\frac{1}{2}$cosA + $\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA = 1，所以sin($\frac{\pi}{6}$ + A)=1。因为A∈(0，$\frac{2\pi}{3}$)，所以$\frac{\pi}{6}$ + A = $\frac{\pi}{2}$，即A = $\frac{\pi}{3}$，从而B = π - A - C = $\frac{\pi}{3}$，所以△ABC为等边三角形。故选A。
归纳总结 判断三角形形状时，需根据题意进行“边角互化”。
判断方法：
通过余弦定理化角为边，通过因式分解、配方等方法得出边与边之间的关系进行判断。
通过余弦定理化边为角，利用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式等推出三角之间的关系进行判断。
注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别。