《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

10. [湖南邵阳 2025 高一期中]如图①所示,一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合,如图②所示,已知该圆锥的高为 2 米,圆柱的高为 3 米,底面直径为 6 米.
(1)求该蒙古包的侧面积;
(2)求该蒙古包的体积.

答案： 10.【解】
(1)依题意得$BC = DE = 3$米，$CD = BE = 3$米，$AE = 2$米，所以$AD = \sqrt{AE^2 + DE^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$(米)，所以圆锥的侧面积为$\pi· AD· DE = \pi×\sqrt{13}×3 = 3\sqrt{13}\pi$(平方米)，圆柱的侧面积为$2\pi· BC· CD = 2\pi×3×3 = 18\pi$(平方米)，所以该蒙古包的侧面积为$(3\sqrt{13} + 18)\pi$平方米。
(2)圆锥的体积为$\frac{1}{3}· AE·\pi· DE^2 = \frac{1}{3}×2\pi×3^2 = 6\pi$(立方米)，圆柱的体积为$\pi· BC^2· CD = \pi×3^2×3 = 27\pi$(立方米)，所以该蒙古包的体积为$6\pi + 27\pi = 33\pi$(立方米)。
规律方法空间几何体的表面积与体积的求法
(1)公式法：对于规则的几何体的表面积和体积，可直接利用公式进行求解；
(2)割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行计算，或把不规则的几何体补成规则的几何体，把不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算；
(3)等体积法：等体积法也称等积转化或等积变形，是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别是三棱锥的体积。

11. [天津五区县重点校 2025 高一期中联考]若球的表面积扩大到原来的 9 倍,那么该球的体积扩大到原来的(B)

A.9 倍
B.27 倍
C.81 倍
D.729 倍

答案： 11.B【解析】设扩大前后球的半径分别为$r_1$，$r_2$，由表面积之比为$\frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = (\frac{r_1}{r_2})^2 = \frac{1}{9}$，得$\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{3}$，则体积之比为$\frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = (\frac{r_2}{r_1})^3 = 3^3 = 27$。故选B。

12. (多选)[四川成都外国语 2024 高一期末]如图,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径(球的直径为 $2R$)相等,则下列结论正确的是(BCD)


A.圆锥的侧面积为 $2\pi R^2$
B.圆柱与球的表面积之比为 $3:2$
C.圆柱的侧面积与球的表面积相等
D.圆柱、圆锥、球的体积之比为 $3:1:2$

答案： 12.BCD【解析】对于A，圆锥的母线长$l = \sqrt{(2R)^2 + R^2} = \sqrt{5}R$，所以圆锥的侧面积$S_1 = \pi Rl = \sqrt{5}\pi R^2$，故A错误；对于B，C，圆柱的侧面积$S_2 = 2\pi R×2R = 4\pi R^2$，则圆柱的表面积$S_3 = S_2 + 2\pi R^2 = 6\pi R^2$，球的表面积$S_4 = 4\pi R^2$，所以圆柱与球的表面积之比为$6\pi R^2:4\pi R^2 = 3:2$，圆柱的侧面积与球的表面积相等，故B，C正确；对于D，圆柱的体积$V_1 = \pi R^2×2R = 2\pi R^3$，圆锥的体积$V_2 = \frac{1}{3}\pi R^2×2R = \frac{2}{3}\pi R^3$，球的体积$V_3 = \frac{4}{3}\pi R^3$，所以圆柱、圆锥、球的体积之比为$V_1:V_2:V_3 = (2\pi R^3):(\frac{2}{3}\pi R^3):(\frac{4}{3}\pi R^3) = 3:1:2$，故D正确。故选BCD。

13. 体积相等的球、正四面体和正方体,它们的表面积的大小关系为(B)

A.$S_{球} ＜ S_{正四面体} ＜ S_{正方体}$
B.$S_{球} ＜ S_{正方体} ＜ S_{正四面体}$
C.$S_{正四面体} ＜ S_{球} ＜ S_{正方体}$
D.$S_{正方体} ＜ S_{球} ＜ S_{正四面体}$

答案： 13.B【解析】设球、正四面体和正方体的体积都为$V$。若球的半径为$R$，则$V = \frac{4}{3}\pi R^3$，可得其表面积$S_1 = 4\pi R^2 = \sqrt[3]{36\pi V^2}$。若正四面体的棱长为$m$，则$V = \frac{1}{3}·\frac{\sqrt{3}}{4}m^2·\frac{\sqrt{6}}{3}m = \frac{\sqrt{2}}{12}m^3$，可得$m = \sqrt[3]{\sqrt{6}\sqrt{2}V}$，所以其表面积$S_2 = 4×\frac{\sqrt{3}}{4}m^2 = \sqrt{3}m^2 = \sqrt{216\sqrt{3}V^2}$。若正方体的棱长为$a$，可得$V = a^3$，可得$S_3 = 6a^2 = 6\sqrt[3]{V^2}$，可得$S_1 ＜ S_3 ＜ S_2$，即$S_{球} ＜ S_{正方体} ＜ S_{正四面体}$。故选B。
二级结论棱长为$a$的正四面体的体积为$\frac{\sqrt{2}}{12}a^3$。

14. [海南海口四中 2025 高一期中]17 世纪 30 年代,意大利数学家卡瓦列利在《不可分量几何学》一书中介绍了利用平面图形旋转计算球体体积的方法. 如图,$\overset{\frown}{AEB}$ 是一个半圆,圆心为 $O$,$ABCD$ 是半圆的外切矩形. 以直线 $OE$ 为轴将该平面图形旋转一周,记 $\triangle OCD$、阴影部分、半圆 $\overset{\frown}{AEB}$ 所形成的几何体的体积分别为 $V_1$,$V_2$,$V_3$,则下列说法正确的是(D)


A.$V_1 + V_2 ＜ V_3$
B.$3V_1 - V_2 ＞ V_3$
C.$V_1 ＞ V_2$
D.$V_1 = V_2$

答案： 14.D【解析】以直线$OE$为轴将该平面图形旋转一周，$\triangle OCD$所形成的几何体为一个圆锥，其底面直径为$DC = 2r(r$为半圆半径$)$，则$S_{底} = \pi r^2$，$h = OE = r$，则$V_1 = \frac{1}{3}S_{底}h = \frac{1}{3}\pi r^3$。半圆$\overset{\frown}{AEB}$所形成的几何体为一个半球，设整个球的体积$V = \frac{4}{3}\pi r^3$，则$V_3 = \frac{1}{2}V = \frac{2}{3}\pi r^3$。以直线$OE$为轴将该平面图形旋转一周，长方形$ABCD$形成的几何体为圆柱，设体积为$V_4 = Sh = \pi r^3$，则阴影部分所形成的几何体体积$V_2$等于圆柱体体积减去半球体积，则$V_2 = \pi r^3 - \frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{1}{3}\pi r^3$。故$V_1 = V_2$，$V_1 + V_2 = V_3$，$3V_1 - V_2 = V_3$。故选D。

15. [山东济南 2025 高一期中]球面被平面所截得的一部分叫做球冠,截得的圆叫做球冠的底,垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高. 球被平面截下的一部分叫做球缺,截面叫做球缺的底面,垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高,球缺是旋转体,可以看作是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体. 如图①,一个球面的半径为 $R$,球冠的高是 $h$,球冠的表面积公式是 $S = 2\pi Rh$. 如图②,已知 $C$,$D$ 是以 $AB$ 为直径的圆上的两点,$\angle AOC = \angle BOD = \frac{\pi}{3}$,$S_{扇形 COD} = 6\pi$,则扇形 $COD$ 绕直线 $AB$ 旋转一周形成的几何体的表面积为72π + 36√3π.

答案： 15.$72\pi + 36\sqrt{3}\pi$【解析】因为$\angle AOC = \angle BOD = \frac{\pi}{3}$，所以$\angle DOC = \pi - 2×\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$。设圆$O$的半径为$R$，又$S_{扇形COD} = \frac{1}{2}×\frac{\pi}{3}R^2 = 6\pi$，解得$R = 6$(负值舍去)。如图，过点$C$作$CE\perp AB$交$AB$于点$E$，过点$D$作$DF\perp AB$交$AB$于点$F$，则$CE = OC\sin\frac{\pi}{3} = 3\sqrt{3}$，$OE = OC\cos\frac{\pi}{3} = 3$，所以$AE = R - OE = 3$，同理可得$DF = 3\sqrt{3}$，$OF = BF = 3$。将扇形$DOC$绕直线$AB$旋转一周形成的几何体为在一个半径$R = 6$的球中上下截去两个相同的球冠所剩余部分再挖去两个相同的圆锥，其中球冠的高$h = 3$，圆锥的高$h_1 = 3$，底面半径$r = 3\sqrt{3}$，则其中一个球冠的表面积$S_1 = 2\pi Rh = 2\pi×6×3 = 36\pi$，球的表面积$S_2 = 4\pi R^2 = 4\pi×6^2 = 144\pi$，圆锥的侧面积$S_3 = 3\sqrt{3}×6\pi = 18\sqrt{3}\pi$，所以所求几何体的表面积$S = S_2 - 2S_1 + 2S_3 = 144\pi - 2×36\pi + 2×18\sqrt{3}\pi = 72\pi + 36\sqrt{3}\pi$。
名师点拨球的截面的性质
(1)球的截面是圆面；
(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；
(3)球心到截面的距离$d$与球的半径$R$及截面的半径$r$的关系为$r = \sqrt{R^2 - d^2}$。