《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

1. [河北唐山 2025 高一期中]平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 平行的充分条件可以是(A)

A.平面 $\alpha$ 内的任意一条直线都与平面 $\beta$ 平行
B.直线 $n//$ 平面 $\alpha$, 直线 $n//$ 平面 $\beta$, 且直线 $n$ 不在平面 $\alpha$ 内, 也不在平面 $\beta$ 内
C.直线 $a\subset$ 平面 $\alpha$, 直线 $b\subset$ 平面 $\beta$, 且 $a//$ 平面 $\beta$, 直线 $b//$ 平面 $\alpha$
D.平面 $\alpha$ 内有无穷多条直线都与平面 $\beta$ 平行

答案：
1.A　[解析]对于选项A:由任意一条直线都与平面$\beta$平行，一定能找到两条相交的直线$a,b$使得直线$a//$平面$\beta$，直线$b//$平面$\beta$，又两条相交直线在平面$\alpha$内，由面面平行的判定定理即可得到$\alpha//\beta$，故A正确;对于选项B:由图①可知直线$n//$平面$\alpha$，直线$n//$平面$\beta$，且直线$n$不在平面$\alpha$内，也不在平面$\beta$内，但平面$\alpha$与平面$\beta$相交，故B错误;
　　　　　
　对于选项C:由图②可知，直线$a\subset$平面$\alpha$，直线$b\subset$平面$\beta$，且直线$a//$平面$\beta$，直线$b//$平面$\alpha$，但平面$\alpha$与平面$\beta$相交,故C 错误;
　　　　　
　对于选项D:由图③可知，直线$a\subset$平面$\alpha$，且$a//\beta$，则平面$\alpha$内只要与直线$a$平行且不与平面$\alpha$和平面$\beta$的交线重合的直线都与平面$\beta$平行，这样的直线有无数条，但是平面$\alpha$与平面$\beta$相交，故D错误.故选A.
　　　　

2. [山东菏泽 2024 高一月考]在正方体 $EFGH - E_1F_1G_1H_1$ 中, 下列四对截面彼此平行的是(A)

A.平面 $E_1FG_1$ 与平面 $EGH_1$
B.平面 $FHG_1$ 与平面 $F_1H_1G$
C.平面 $F_1H_1E$ 与平面 $FHE_1$
D.平面 $E_1HG_1$ 与平面 $EH_1G$

答案：
2.A　　[解析]如图，在正方体$EFGH - E_{1}F_{1}G_{1}H_{1}$中，因为$EE_{1}// GG_{1}$，$EE_{1}=GG_{1}$，所以四边形$EE_{1}G_{1}G$是平行四边形，所以$E_{1}G_{1}// EG$.又$E_{1}G_{1}\not\subset$平面$EGH$，$EG\subset$平面$EGH$，所以$E_{1}G_{1}//$平面$EGH$，同理$G_{1}F//$平面$EGH$.因为$E_{1}G_{1}\cap G_{1}F = G_{1}$，$E_{1}G_{1},G_{1}F\subset$平面$E_{1}F_{1}G_{1}$，所以平面$E_{1}F_{1}G_{1}//$平面$EGH$，其他三对平面均不平行.故选A.

　名师点拨证明面面平行的关键是证明一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，即两个线面平行.
　规律方法面面平行的判寔方法
(1)利用定义:即证两个平面没有公共点(不常用).
(2)利用面面平行的判定定理(主要方法).
(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行.
(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行.

3. [安徽六安 2024 高一月考]在正四棱柱 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中, $O$ 为底面 $ABCD$ 的中心, $P$ 是 $DD_1$ 的中点, 设 $Q$ 是 $CC_1$ 上的点, 若平面 $D_1BQ//$ 平面 $PAO$, 则点 $Q$ 满足(B)

A.$Q$ 为 $CC_1$ 的三等分点
B.$Q$ 为 $CC_1$ 的中点
C.$Q$ 为 $CC_1$ 的四等分点
D.$Q$ 与 $C$ 重合

答案：
3.B　[解析]如图所示，设$Q$为$CC_{1}$的中点，连接$PQ$，
$\because P$为$DD_{1}$的中点，易知$PQ// CD// AB$，且$PQ = CD = AB$，$\therefore$四边形$BAPQ$是平行四边形，
$\therefore QB// PA$.
又$QB\subset$平面$D_{1}BQ$，$PA\not\subset$平面$D_{1}BQ$，
$\therefore PA//$平面$D_{1}BQ$.
连接$DB$，则$O$在$DB$上，且$O$是$DB$的中点.
又$\because P$是$DD_{1}$的中点，$\therefore D_{1}B// PO$.
又$D_{1}B\subset$平面$D_{1}BQ$，$PO\not\subset$平面$D_{1}BQ$，
$\therefore PO//$平面$D_{1}BQ$.又$PA\cap PO = P$，$PA$，$PO\subset$平面$PAO$，$\therefore$平面$D_{1}BQ//$平面$PAO$.
当$Q$为$CC_{1}$的中点时，有平面$D_{1}BQ//$平面$PAO$.故选B.
　　　　　　　　　

4. [河南信阳高中 2025 高一月考]设 $\alpha,\beta,\gamma$ 为两两不重合的平面, $l,m,n$ 为两两不重合的直线, 给出下列四个命题:
①若 $\alpha//\beta,\gamma//\beta$, 则 $\alpha//\gamma$;
②若 $m\subset\alpha,n\subset\alpha,m//\beta,n//\beta$, 则 $\alpha//\beta$;
③若 $\alpha//\beta,l\subset\alpha$, 则 $l//\beta$;
④若 $m//\alpha,n//\beta,\alpha//\beta$, 则 $m// n$.
其中真命题的编号为①③。

答案：
4.①③[解析]对于①,由面面平行的传递性可知①正确;
　对于②,若$m\subset\alpha$，$n\subset\alpha$，$m//\beta$，$n//\beta$，则$\alpha//\beta$或$\alpha$与$\beta$相交，所以②错误;
　对于③，若两个平面平行，则其中一个平面内的任一直线都与另一个平面平行，所以③正确;
　对于④,如图,m,n有可能异面，所以④错误.
　　　　　

5. [天津南开中学 2025 高一质量监测]如图是某正方体的平面展开图. 关于这个正方体, 有以下判断:
① $CN// DE$; ② $BM//$ 平面 $ADE$; ③平面 $BDM//$ 平面 $AFN$; ④ $DM,BF$ 是异面直线.

其中判断正确的序号是②③④。

答案：
5.②③④　[解析]将平面展开图还原成正方体$ABCD - EFMN$，如图所示.对于①，在正方体中，易知$CN$与$DE$是异面直线，而不是平行关系，①错误.
　对于②，在正方体中，易知$BM// AN$，又因为$AN\subset$平面$ADE$，$BM\not\subset$平面$ADE$，所以$BM//$平面$ADE$，②正确.
　对于③,在正方体中，易知$BD// FN$，$BM// AN$，$BD\subset$平面$BDM$，$FN\not\subset$平面$BDM$，故$FN//$平面$BDM$.同理可得$AN//$平面$BDM$，又$AN\cap FN=N$，$AN\subset$平面$AFN$，$FN\subset$平面$AFN$，则根据平面与平面平行的判定定理,可得平面$BDM//$平面$AFN$，③正确.
　对于④,在正方体中,DM与BF既不相交也不平行，满足异面直线的定义，所以$DM,BF$是异面直线，④正确.
　　　　

6. [北京中央民族大学附属中学 2025 高一期末]如图, 在四棱锥 $P - ABCD$ 中, 底面 $ABCD$ 是平行四边形, 点 $E,F,G$ 分别是 $PD,AC,PA$ 的中点, 平面 $PAB\cap$ 平面 $EFG = l$. 证明:
(1) $EF// l$;
(2)平面 $EFG//$ 平面 $PBC$.

答案：
6.[证明]
(1)在四棱锥$P - ABCD$中,连接$BD$，由底面$ABCD$是平行四边形，可得$F$是$BD$的中点.
　而$E$是$PD$的中点，则$EF// PB$，又$EF\not\subset$平面$PAB$，$PB\subset$平面$PAB$，则$EF//$平面$PAB$，
　而平面$PAB\cap$平面$EFG = l$，$EF\subset$平面$EFG$，所以$EF// l$.
　　　　
(2)由$G,F$分别是$PA,AC$的中点，得$FG// PC$，
　又$FG\not\subset$平面$PBC$，$PC\subset$平面$PBC$，则$FG//$平面$PBC$.
　由
(1)知$EF// PB$，又$EF\not\subset$平面$PBC$，$PB\subset$平面$PBC$，则$EF//$平面$PBC$，
　又$EF\cap FG = F$，$EF,FG\subset$平面$EFG$，所以平面$EFG//$平面$PBC$.
　名师点拨证明面面平行的基本思路:线线平行⇒线面平行⇒面面平行.

7. [湖南株洲 2025 高一期中]设 $m$ 为直线, $\alpha,\beta$ 为两个不同的平面, 则下列结论中错误的是(B)

A.$m//\alpha,\alpha//\beta$, 且 $m\not\subset\beta\Rightarrow m//\beta$
B.$m//\alpha,m//\beta\Rightarrow\alpha//\beta$
C.$\alpha//\beta$, 且 $m\subset\alpha\Rightarrow m//\beta$
D.$\alpha//\beta$, 且 $m$ 与 $\alpha$ 相交 $\Rightarrow m$ 与 $\beta$ 相交

答案：
7.B　[解析]对于选项A:若$m//\alpha$，$\alpha//\beta$，则$m\subset\beta$或$m//\beta$，又因为$m\not\subset\beta$，所以$m//\beta$，故A正确;
　对于选项B:若$m//\alpha$，$m//\beta$，则$\alpha//\beta$或$\alpha$与$\beta$相交,例如在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，
$AB//$平面$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$，$AB//$平面$CC_{1}D_{1}D$，显然平面$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$与平面$CC_{1}D_{1}D$相交，故B 错误;
　　　　
　对于选项C:若$\alpha//\beta$，且$m\subset\alpha$，由面面平行的性质可得$m//\beta$，故C正确;
　对于选项D:若$\alpha//\beta$，且$m$与$\alpha$相交，由面面平行的性质可得$m$与$\beta$相交，故D 正确.
　故选B.