《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

16. （本小题满分15分）为了了解学生参加体育活动的情况，学校对学生进行随机抽样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少？”，共有4个选项：A. 1.5小时以上；B. 1~1.5小时；C. 0.5~1小时；D. 0.5小时以下. 图①，②是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息，解答下列问题.
（1）本次一共调查了多少名学生？
（2）在图①中将$B$对应的部分补充完整.
（3）若该校有3000名学生，请估计全校有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下.

答案：
16.【解】
(1)由题图可知，选A共60人，占总人数的百分比为30%，所以总人数为$60÷30\% = 200$，即本次一共调查了200名学生。
(2)被调查的学生中，选B的有$200 - 60 - 30 - 10 = 100$（人），补充完整的条形统计图如图所示。

(3)$3000×5\% = 150$，故估计全校有150名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下。（敲黑板：由扇形统计图得到在0.5小时以下的占比为5%）

17. （本小题满分15分）[陕西咸阳2025高一期末]某果园试种了$A,B$两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记$A,B$两个品种各10棵的产量（单位：kg）的平均数分别为$\overline{x}$和$\overline{y}$，方差分别为$s_1^2$和$s_2^2$.

（1）求$A$品种的10棵桃树产量的第80百分位数；
（2）求$\overline{x},\overline{y},s_1^2,s_2^2$；
（3）若果园要大面积种植这两种桃树中的一种，请依据以上计算结果分析选择哪个品种更合适，并说明理由.

答案： 17.【解】
(1)由题意将A品种的10棵桃树产量从小到大排列为40,50,60,60,70,80,80,80,90,90，且$10×0.8 = 8$，则第80百分位数为第8位和第9位数的平均数，即$\frac{80 + 90}{2}=85$。故A品种的10棵桃树产量的第80百分位数为85。
(2)由题意可得$\bar{x}=\frac{1}{10}(60×2 + 50 + 40 + 70 + 80×3 + 90×2)=70$，则$s^2=\frac{1}{10}×[(60 - 70)^2×2+(50 - 70)^2+(40 - 70)^2+(70 - 70)^2+(80 - 70)^2×3+(90 - 70)^2×2]=\frac{1}{10}×(100×2 + 400 + 900 + 0 + 100×3 + 400×2)=260$；$\bar{y}=\frac{1}{10}(60×2 + 50 + 40 + 70 + 80×4 + 100)=70$，$s_2^2=\frac{1}{10}×[(60 - 70)^2×2+(50 - 70)^2+(40 - 70)^2+(70 - 70)^2+(80 - 70)^2×4+(100 - 70)^2]=\frac{1}{10}×(100×2 + 400 + 900 + 0 + 100×4 + 900)=280$。
(3)种植A品种更合适。由
(2)可知$\bar{x}=\bar{y}=70$，$s_1^2 = 260＜s_2^2 = 280$，所以相比B品种产量A品种产量更稳定。

18. （本小题满分17分）[浙江湖州2024高一期末]某学校组织“防电信诈骗知识”测试，随机调查400名学生，将他们的测试成绩（满分100分）的统计结果按$[50,60),[60,70),·s,[90,100]$依次分成第一组至第五组，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求图中$x$的值.
（2）估计参与这次测试学生的成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第60百分位数.
（3）现从第三组、第四组和第五组参与测试的学生中用按比例分配的分层随机抽样的方法选取15人，担任学校“防电信诈骗知识”的宣传员. 若这15名学校宣传员中来自第三组学生的测试成绩的平均数和方差分别为75和5，来自第四组学生的测试成绩的平均数和方差分别为85和10，来自第五组学生的测试成绩的平均数和方差分别为93和5.2，据此估计这次第三组、第四组和第五组所有参与测试学生的成绩的方差.

答案： 18.【解】
(1)由题意得$(x + 0.015 + 0.020 + 0.030 + 0.025)×10 = 1$，解得$x = 0.010$。
(2)估计参与这次测试学生的成绩的平均数$\bar{u}=10×(55×0.010 + 65×0.015 + 75×0.020 + 85×0.030 + 95×0.025)=79.5$。由题图得，第一组至第三组的频率之和为$(0.01 + 0.015 + 0.02)×10 = 0.45＜0.6$，第一组至第四组的频率之和为$(0.01 + 0.015 + 0.02 + 0.03)×10 = 0.75＞0.6$，所以第60百分位数为$80+\frac{0.6 - 0.45}{0.75 - 0.45}×10 = 85$。
(3)设第三组、第四组、第五组学生成绩的平均数和方差分别为$\bar{x}_3,\bar{x}_4,\bar{x}_5,s_3^2,s_4^2,s_5^2$，且三组的频率之比为$4:6:5$，则这三组学生的成绩的平均数$\bar{x}=\frac{75×4 + 85×6 + 93×5}{15}=85$，所以第三组、第四组和第五组所有参与测试学生的成绩的方差$s^2=\frac{4}{15}×[s_3^2+(\bar{x}_3 - \bar{x})^2]+\frac{6}{15}×[s_4^2+(\bar{x}_4 - \bar{x})^2]+\frac{5}{15}×[s_5^2+(\bar{x}_5 - \bar{x})^2]=\frac{4}{15}×[5+(75 - 85)^2]+\frac{6}{15}×[10+(85 - 85)^2]+\frac{5}{15}×[5.2+(93 - 85)^2]=\frac{826}{15}$。