《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

1. [全国甲文2022·2,5分]某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图:

则(B)

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

答案： 1.B【解析】对于A，讲座前问卷答题的正确率的中位数为$\frac{70\%+75\%}{2}=72.5\%$，大于$70\%$，故A错误；对于B，讲座后问卷答题的正确率的平均数为$89.5\%$，大于$85\%$，故B正确；对于C，因为标准差越小，数据越集中，由题图可知，讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C错误；对于D，讲座后问卷答题的正确率的极差为$20\%$，小于讲座前正确率的极差$35\%$，故D错误.故选B.

2. [全国甲理2021·2,5分]为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:

根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是(C)

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

答案： 2.C【解析】由频率分布直方图知年收入低于$4.5$万元的农户比率估计为$(0.02+0.04)×1=0.06=6\%$，故A正确；年收入不低于$10.5$万元的农户比率估计为$(0.04+0.02×3)×1=0.10=10\%$，故B正确；该地农户家庭年收入的平均值约为$3×0.02+4×0.04+5×0.10+6×0.14+7×0.20+8×0.20+9×0.10+10×0.10+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68＞6.5$，故C错误；家庭年收入介于$4.5$万元至$8.5$万元之间的农户比率约为$(0.10+0.14+0.20)×1=0.64＞0.5$，故D正确.故选C.

3. [全国新课标Ⅱ2023·19,12分]某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:


利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c);
(2)设函数f(c)=p(c)+q(c).当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最小值.

答案： 3.【解】
(1)设$X$为患病者指标，$Y$为未患病者指标，由患病者指标的频率分布直方图，知$p(c)=P(X\leq c)=(c - 95)×0.002 = 0.5\%$，解得$c = 97.5$。则$q(c)=P(Y＞c)=(100 - 97.5)×0.010+5×0.002 = 0.035 = 3.5\%$。
(2)当$95\leq c\leq100$时，$p(c)=(c - 95)×0.002,q(c)=(100 - c)×0.010+5×0.002$，所以$f(c)=p(c)+q(c)= - 0.008c + 0.82$；当$100＜c\leq105$时，$p(c)=5×0.002+(c - 100)×0.012,q(c)=(105 - c)×0.002$，所以$f(c)=p(c)+q(c)=0.01c - 0.98$。综上所述$f(c)=\begin{cases}- 0.008c + 0.82,95\leq c\leq100,\\0.01c - 0.98,100＜c\leq105.\end{cases}$由一次函数的单调性知，函数$f(c)$在$[95,100]$上单调递减，在$(100,105]$上单调递增，所以$f(c)_{\min}=f(100)= - 0.008×100 + 0.82 = 0.02$。