《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

1. [北京顺义区 2025 高一期中]如图，在复平面内，复数 $ z $ 对应的点 $ Z $ 如图所示，则复数 $ z = $(D)

A.$ 1 - 2i $
B.$ 2 - i $
C.$ 1 + 2i $
D.$ 2 + i $

答案： 1.D 【解析】复数$z$对应的点$Z$的坐标为$(2,1)$，则复数$z=2+i$.故选D.

2. 在复平面内，复数 $ z = (a^{2} - 2a) + (a^{2} - a - 2)i $ $ (a \in \mathbf{R}) $ 对应的点在虚轴上，则(A)

A.$ a = 0 $ 或 $ a = 2 $
B.$ a = 0 $
C.$ a \neq 1 $ 且 $ a \neq 2 $
D.$ a \neq 1 $ 或 $ a \neq 2 $

答案： 2.A 【解析】$\because$复数$z=(a^{2}-2a)+(a^{2}-a-2)i(a\in \mathbf{R})$对应的点在虚轴上，$\therefore a^{2}-2a=0$，$\therefore a=0$或$a=2$.故选A.

3. [四川成都树德中学 2024 高一期中]当复平面内表示复数 $ z = (m^{2} - 8m + 15) + (m^{2} - 5m - 14)i $ 的点位于第四象限时，实数 $ m $ 的取值范围是(B)

A.$ (-2,7) $
B.$ (-2,3) \cup (5,7) $
C.$ (3,5) $
D.$ (5,7) $

答案： 3.B 【解析】由在复平面内表示复数$z=(m^{2}-8m+15)+(m^{2}-5m-14)i$的点位于第四象限，得$\begin{cases}m^{2}-8m+15＞0,\\m^{2}-5m-14＜0,\end{cases}$即$\begin{cases}m＜3或m＞5,\\-2＜m＜7,\end{cases}$解得$-2＜m＜3$或$5＜m＜7$，即实数$m$的取值范围是$(-2,3)\cup(5,7)$，故选B.

4. 复数 $ 1 - \sqrt{3}i $ 在复平面内对应的点到原点的距离是2。

答案： 4.2 【解析】复数$1-\sqrt{3}i$在复平面内对应的点的坐标为$(1,-\sqrt{3})$，所以复数$1-\sqrt{3}i$在复平面内对应的点到原点的距离是$\sqrt{1^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=2$.

5. [河北邯郸五校 2025 高一期中]在复平面内，$ O $ 为坐标原点，向量 $ \overrightarrow{OA} $ 对应的复数为 $ -3 - 7i $，若点 $ A $ 关于实轴的对称点为 $ B $，则向量 $ \overrightarrow{OB} $ 对应的复数为(D)

A.$ 7 + 3i $
B.$ 3 + 7i $
C.$ 3 - 7i $
D.$ -3 + 7i $

答案： 5.D 【解析】依题意，点$A$在复平面内的坐标为$(-3,-7)$，则点$A$关于实轴对称的点$B$的坐标为$(-3,7)$，所以向量$\overrightarrow{OB}$对应的复数为$-3+7i$.故选D.

6. 在复平面内，平行四边形 $ ABCD $ 的 $ 3 $ 个顶点 $ A $，$ B $，$ C $ 对应的复数分别是 $ 1 + 2i $，$ -2 + i $，$ 0 $，则点 $ D $ 对应的复数是(C)

A.$ 3 - i $
B.$ -1 + 3i $
C.$ 3 + i $
D.$ -3 - i $

答案： 6.C 【解析】由题知，点$A(1,2)$，$B(-2,1)$，$C(0,0)$.设点$D$的坐标为$(x,y)$，则有$\overrightarrow{AD}=(x-1,y-2)$，$\overrightarrow{BC}=(2,-1)$.又因为四边形$ABCD$为平行四边形，所以$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$，即$\begin{cases}x-1=2,\\y-2=-1,\end{cases}$得$\begin{cases}x=3,\\y=1,\end{cases}$所以点$D(3,1)$，其对应的复数为$3+i$.故选C.

7. [山东泰安肥城 2025 高一期中]已知复平面内的点 $ M $ 对应的复数是 $ 1 $，点 $ N $ 对应的复数是 $ i $，则向量 $ \overrightarrow{MN} $ 对应的复数是-1+i。

答案： 7.$-1+i$ 【解析】由题意得，$M(1,0)$，$N(0,1)$，则$\overrightarrow{MN}=(0,1)-(1,0)=(-1,1)$，故$\overrightarrow{MN}$对应的复数为$-1+i$.

8. [北京大兴区 2025 高一期中]已知复数 $ z $ 在复平面内对应的点为 $ (-2,1) $，则 $ |z|^{2} = $(D)

A.$ 3 $
B.$ 3 - 4i $
C.$ 5 - 4i $
D.$ 5 $

答案： 8.D 【解析】由题意可得复数$z$的实部为$-2$，虚部为$1$，所以$\vert z\vert^{2}=(-2)^{2}+1^{2}=5$.故选D.

9. (多选)已知 $ z_{1} $，$ z_{2} $ 为复数，则下列说法不正确的是(BCD)

A.若 $ z_{1} = z_{2} $，则 $ |z_{1}| = |z_{2}| $
B.若 $ z_{1} \neq z_{2} $，则 $ |z_{1}| \neq |z_{2}| $
C.若 $ z_{1} ＞ z_{2} $，则 $ |z_{1}| ＞ |z_{2}| $
D.若 $ |z_{1}| ＞ |z_{2}| $，则 $ z_{1} ＞ z_{2} $

答案： 9.BCD 【解析】因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A正确；当两个复数不相等时，它们的模有可能相等，比如$1-i\neq1+i$，但$\vert1-i\vert=\vert1+i\vert$，所以B不正确；若$z_1＞z_2$，则$z_1,z_2$为实数，当$z_1=1,z_2=-2$时，满足$z_1＞z_2$，但$\vert z_1\vert＜\vert z_2\vert$，所以C不正确；因为两个虚数之间只有等与不等，不能比较大小，模可以比较大小，所以D不正确.故选BCD.

10. 教材变式 设 $ z \in \mathbf{C} $，在复平面内 $ z $ 对应的点为 $ Z $，那么满足下列条件的点 $ Z $ 的集合是什么图形？
(1) $ |z| = 2 $；
(2) $ 2 \leq |z| \leq 3 $。

答案：
10.【解】
(1)$\vert z\vert=2$，则复数$z$对应的向量$\overrightarrow{OZ}$的模等于$2$，即点$Z$到原点$O$的距离等于$2$，因此满足条件$\vert z\vert=2$的点$Z$的集合是以原点$O$为圆心，$2$为半径的圆.
(2)不等式$2\leqslant\vert z\vert\leqslant3$可化为不等式组$\begin{cases}\vert z\vert\leqslant3,\\\vert z\vert\geqslant2.\end{cases}$
不等式$\vert z\vert\leqslant3$的解集是圆$\vert z\vert=3$和该圆内部所有的点构成的集合，
不等式$\vert z\vert\geqslant2$的解集是圆$\vert z\vert=2$和该圆外部所有的点构成的集合，
这两个集合的交集，即上述不等式组的解集，也就是满足$2\leqslant\vert z\vert\leqslant3$的点$Z$的集合.
所以满足$2\leqslant\vert z\vert\leqslant3$的点$Z$的集合是以原点$O$为圆心，$2$和$3$为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界.

链接教材 本题是教材第72页例3的变式，解题的关键在于理解复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离，并据此判断其几何图形.
设复数$z$在复平面内对应的点为$Z$，$r$表示一个大于$0$的常数，则满足条件$\vert z\vert=r$的点$Z$的轨迹是以原点为圆心，$r$为半径的圆，$\vert z\vert＜r$表示圆的内部，$\vert z\vert＞r$表示圆的外部.

11. [吉林普通高中 2025 高一期中]已知 $ z $ 在复平面内对应的点为 $ (2,-1) $，则 $ z $ 的共轭复数 $ \overline{z} $ 在复平面内对应的点为(C)

A.$ (-2,1) $
B.$ (-2,-1) $
C.$ (2,1) $
D.$ (2,-1) $

答案： 11.C 【解析】由题意可得$z=2-i$，则$\overline{z}=2+i$，其在复平面内对应的点为$(2,1)$.故选C.

12. [天津南开中学 2025 高一质量监测]若复数 $ z $ 满足 $ z = 1 + i $($ i $ 是虚数单位)，则下列说法不正确的是(D)

A.复数 $ z $ 在复平面内对应的点在第一象限
B.$ z $ 的模为 $ \sqrt{2} $
C.$ z $ 的共轭复数为 $ 1 - i $
D.复数 $ z $ 的虚部为 $ i $

答案： 12.D 【解析】复数$z=1+i$在复平面内对应的点为$(1,1)$，在第一象限，故A正确；$\vert z\vert=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$，故B正确；$z$的共轭复数$\overline{z}=1-i$，故C正确；复数$z$的虚部为$1$，故D错误.故选D.→坑：复数$z=a+bi(a,b\in \mathbf{R})$的虚部是$b$，不包含虚数单位$i$

13. 已知复数 $ z $ 在复平面内对应的点在第二象限，它的模为 $ 3 $，实部是 $ -\sqrt{5} $，则 $ \overline{z} = $-\sqrt{5}-2i。

答案： 13.$-\sqrt{5}-2i$ 【解析】依题意，设$z=-\sqrt{5}+yi,y＞0$，于是得$\vert z\vert=\sqrt{(-\sqrt{5})^{2}+y^{2}}=3$，解得$y=2$，所以$\overline{z}=-\sqrt{5}-yi=-\sqrt{5}-2i$.