《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

1. [福建宁德部分学校 2025 高一期中]设向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$满足$5(\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}) - 4(\boldsymbol{b} + 3\boldsymbol{a}) - \boldsymbol{c} = \boldsymbol{0}$，则$\boldsymbol{c} =$(D)

A.$-\boldsymbol{a} + 22\boldsymbol{b}$
B.$7\boldsymbol{a} + 14\boldsymbol{b}$
C.$\boldsymbol{a} - 22\boldsymbol{b}$
D.$-7\boldsymbol{a} - 14\boldsymbol{b}$

答案： 1.D　[解析]因为$5(a - 2b) - 4(b + 3a) - c = - 7a - 14b - c = 0$，所以$c = - 7a - 14b$.故选D.

2. 若$C$在线段$AB$上，且$\frac{AC}{CB} = \frac{3}{7}$，则(D)

A.$\overrightarrow{BC} = \frac{7}{13}\overrightarrow{BA}$
B.$\overrightarrow{AC} = -\frac{3}{10}\overrightarrow{AB}$
C.$\overrightarrow{BC} = \frac{7}{13}\overrightarrow{AB}$
D.$\overrightarrow{AC} = -\frac{3}{10}\overrightarrow{BA}$

答案： 2.D　[解析]
∵$C$在线段$AB$上，$\frac{AC}{CB}=\frac{3}{7}$，
∴$\overrightarrow{AC}=\frac{3}{10}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}=\frac{7}{10}\overrightarrow{AB}$.
　对于A，$\overrightarrow{BC}=\frac{7}{10}\overrightarrow{BA}$，A错误；
　对于B，$\overrightarrow{AC}=\frac{3}{10}\overrightarrow{AB}$，B错误；
　对于C，$\overrightarrow{BC}=\frac{7}{10}\overrightarrow{BA}= - \frac{7}{10}\overrightarrow{AB}$，C错误；
　避坑：把线段比例关系转化为向量关系时注意向量的方向
　对于D，$\overrightarrow{AC}=\frac{3}{10}\overrightarrow{AB}= - \frac{3}{10}\overrightarrow{BA}$，D正确.故选D.

3. [辽宁抚顺六校 2025 高一联考]已知$D$为$\triangle ABC$所在平面内的一点，$4\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AD}$，$E$为$CD$的中点，则$\overrightarrow{AE} =$(C)

A.$\frac{4}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$
B.$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow{AC}$
C.$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$
D.$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$

答案： 3.C　[解析]由题意得$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}×\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.故选C.

4. [江苏扬州大学附属中学 2025 高一月考]在平行四边形$ABCD$中，$E$为$CD$的中点，$BE$与对角线$AC$交于点$F$，记$\overrightarrow{AD} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{BF} = \boldsymbol{b}$，则$\overrightarrow{AB} =$(D)

A.$-\frac{1}{3}\boldsymbol{a} + \frac{2}{3}\boldsymbol{b}$
B.$2\boldsymbol{a} + 3\boldsymbol{b}$
C.$\frac{1}{3}\boldsymbol{a} + \frac{2}{3}\boldsymbol{b}$
D.$2\boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b}$

答案：
4.D　[解析]由题意得，$\triangle ECF \backsim \triangle BAF$，所以$\frac{EF}{FB}=\frac{EC}{AB}=\frac{1}{2}$，所以$\overrightarrow{BF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}$.
　所以$\overrightarrow{BF}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE})=\frac{2}{3}(\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB})=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$.
　所以$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AD}-3\overrightarrow{BF}=2a - 3b$.
　故选D.
　　　　

5. [河北衡水 2024 高一期末]在四边形$ABCD$中，对角线$AC$与$BD$交于点$O$。若$2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OD} + 3\overrightarrow{OB}$，则四边形$ABCD$一定是(B)

A.矩形
B.梯形
C.平行四边形
D.菱形

答案： 5.B　[解析]
∵$2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OD}+3\overrightarrow{OB}$，
∴$2(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD})=3(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC})$，
∴$2\overrightarrow{DA}=3\overrightarrow{CB}$，
∴四边形$ABCD$一定是梯形.故选B.

6. 教材变式[北京通州区 2025 高一期中]已知平面向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$是不共线的两个向量，$\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AC} = 4\boldsymbol{a} - 4\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{CD} = -\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}$，则(D)

A.$A$，$B$，$C$三点共线
B.$A$，$B$，$D$三点共线
C.$A$，$C$，$D$三点共线
D.$B$，$C$，$D$三点共线

答案： 6.D　[解析]由题意，$\overrightarrow{AB}=a + 2b$，$\overrightarrow{AC}=4a - 4b$，$\overrightarrow{CD}= - a + 2b$.
　不存在唯一的实数$\lambda_1$，使得$\overrightarrow{AB}=\lambda_1\overrightarrow{AC}$，所以$A$，$B$，$C$三点不共线，故A错误；
　由于$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=4a - 4b - a + 2b = 3a - 2b$，不存在唯一的实数$\lambda_2$使得$\overrightarrow{AB}=\lambda_2\overrightarrow{AD}$，不存在唯一的实数$\lambda_3$使得$\overrightarrow{AC}=\lambda_3\overrightarrow{AD}$，故B、C错误；
　由于$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=4a - 4b - (a + 2b)=3a - 6b$，所以$\overrightarrow{BC}= - 3\overrightarrow{CD}$，又$\overrightarrow{BC}$与$\overrightarrow{CD}$有共同的端点$C$，所以$B$，$C$，$D$三点共线，故D正确.
　避坑：说明三点共线时，此步骤必不可少
　链接教材：本题是教材第15页例7的同类试题，考查向量共线定理的应用和三点共线的判定.以$A$，$B$，$C$三点中的任意两点为端点构造两个向量，如$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$，先证明$\overrightarrow{AB} // \overrightarrow{BC}$，再由$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BC}$有共同端点$B$，可以得到$A$，$B$，$C$三点共线.

7. 已知向量$\boldsymbol{a} = 2\boldsymbol{e}_1 - 3\boldsymbol{e}_2$，$\boldsymbol{b} = 2\boldsymbol{e}_1 + 3\boldsymbol{e}_2$，$\boldsymbol{c} = 2\boldsymbol{e}_1 - 9\boldsymbol{e}_2$，其中$\boldsymbol{e}_1$，$\boldsymbol{e}_2$不共线。问是否存在实数$\lambda$，$\mu$，使向量$\boldsymbol{d} = \lambda\boldsymbol{a} + \mu\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{c}$共线？

答案： 7.[解]由题意得$d = \lambda a + \mu b = (2\lambda + 2\mu)e_1 + (- 3\lambda + 3\mu)e_2$.
　若$d$与$c$共线，则存在实数$k\neq0$，使$d = kc$，即$(2\lambda + 2\mu)e_1 + (- 3\lambda + 3\mu)e_2 = 2ke_1 - 9ke_2$，即$(2\lambda + 2\mu)e_1 - 2ke_1 = - 9ke_2 - (- 3\lambda + 3\mu)e_2$，即$\begin{cases}2\lambda + 2\mu - 2k = 0\\- 9k + 3\lambda - 3\mu = 0\end{cases}$，解得$\lambda = - 2\mu$.
　故存在实数$\lambda$，$\mu$，且$\lambda = - 2\mu$，使$d$与$c$共线.

8. 已知向量$\boldsymbol{e}_1$，$\boldsymbol{e}_2$不共线，$\boldsymbol{a} = 2\boldsymbol{e}_1 + t\boldsymbol{e}_2$，$\boldsymbol{b} = (t + 3)\boldsymbol{e}_1 + 2\boldsymbol{e}_2$，且$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$，则实数$t =$(B)

A.$1$或$4$
B.$1$或$-4$
C.$\frac{1}{4}$或$1$
D.$-\frac{1}{4}$或$1$

答案： 8.B　[解析]因为$a = 2e_1 + te_2$，$b = (t + 3)e_1 + 2e_2$，且$a // b$，所以$2e_1 + te_2 = \lambda[(t + 3)e_1 + 2e_2] = \lambda(t + 3)e_1 + 2\lambda e_2(\lambda\in R)$，即$[2 - \lambda(t + 3)]e_1 = (2\lambda - t)e_2$.
　又向量$e_1$，$e_2$不共线，可得$\begin{cases}2 = \lambda(t + 3)\\t = 2\lambda\end{cases}$.
　点悟：两不共线向量相等，可得到两向量前的系数为0
　消去$\lambda$得到$t^2 + 3t - 4 = 0$，解得$t = 1$或$t = - 4$，故选B.

9. [湖南长沙 2025 高一入学考]设$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$都是非零向量。下列四个条件中，使$\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|} = \frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$成立的充分条件是(C)

A.$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$且$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$
B.$\boldsymbol{a} = -\boldsymbol{b}$
C.$\boldsymbol{a} = 2\boldsymbol{b}$
D.$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$

答案： 9.C　[解析]对于A，向量$a$与$b$满足$|a| = |b|$且$a // b$，若向量$a$与$b$反向，则$\frac{a}{|a|}= - \frac{b}{|b|}$，故A不符合题意；
　对于B，由$a = - b$，则$\frac{a}{|a|}= - \frac{b}{|b|}$，故B不符合题意；
　对于C，因为$a = 2b$，所以向量$a$与$b$同向，所以$\frac{a}{|a|}=\frac{b}{|b|}$，故C符合题意；
　对于D，向量$a$与$b$满足$a // b$，若向量$a$与$b$反向，则$\frac{a}{|a|}= - \frac{b}{|b|}$，故D不符合题意.故选C.

10. [江苏南京师大附中 2025 高一月考]设$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$是两个不共线的向量，若$\overrightarrow{AB} = 2\boldsymbol{a} + k\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{BC} = \boldsymbol{a} + 3\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{CD} = 2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$，且$A$，$B$，$D$三点共线，则实数$k$的值为$\frac{4}{3}$。

答案： 10.$\frac{4}{3}$[解析]由$\overrightarrow{BC}=a + 3b$，$\overrightarrow{CD}=2a - b$，得$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=(a + 3b)+(2a - b)=3a + 2b$.由$A$，$B$，$D$三点共线，得$\overrightarrow{AB} // \overrightarrow{BD}$，而$\overrightarrow{AB}=2a + kb$，则$2a + kb = t(3a + 2b)$.又$a$，$b$不共线，因此$\begin{cases}2 = 3t\\k = 2t\end{cases}$，解得$k = \frac{4}{3}$，所以实数$k$的值为$\frac{4}{3}$.