《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

10. [江苏无锡 2025 高一调研]如图，已知 $ O $ 为平面直角坐标系的原点，$ \angle OAB = 120^{\circ} $，$ BC// y $ 轴，$ |\overrightarrow{OA}| = 2|\overrightarrow{AB}| = 4 $，$ \overrightarrow{OB}·\overrightarrow{OC}=40 $.
(1)求点 $ B,C $ 的坐标；
(2)求向量 $ \overrightarrow{BC} $ 在向量 $ \overrightarrow{OC} $ 上的投影向量的坐标.

答案： 10.【解】
(1)由条件可知，$\angle BAx=60^{\circ}$，所以点$B$的横坐标$x_{B}=4 + 2\cos60^{\circ}=5$，纵坐标$y_{B}=2\sin60^{\circ}=\sqrt{3}$，即$B(5,\sqrt{3})$．
由条件可知，$x_{C}=x_{B}=5$，则设$C(5,y)$，
所以$\overrightarrow{OB}·\overrightarrow{OC}=25+\sqrt{3}y=40$，则$y = 5\sqrt{3}$，即$C(5,5\sqrt{3})$，所以$B(5,\sqrt{3})$，$C(5,5\sqrt{3})$．
(2)由
(1)可知，$\overrightarrow{BC}=(0,4\sqrt{3})$，$\overrightarrow{OC}=(5,5\sqrt{3})$，
所以向量$\overrightarrow{BC}$在向量$\overrightarrow{OC}$上的投影向量为$\frac{\overrightarrow{BC}·\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OC}|^{2}}·\overrightarrow{OC}=\frac{60}{100}(5,5\sqrt{3})=(3,3\sqrt{3})$，
所以向量$\overrightarrow{BC}$在向量$\overrightarrow{OC}$上的投影向量的坐标为$(3,3\sqrt{3})$．

11. [四川成都 2025 高一期末]已知平面向量 $ \boldsymbol{a}=(2,1) $，$ \boldsymbol{b}=(m - 2,4 - 2m) $，$ \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} $.
(1)若 $ \boldsymbol{a}//\boldsymbol{b} $，求实数 $ m $ 的值；
(2)证明：对任意的 $ \lambda\neq0 $，都有 $ \boldsymbol{a}\perp\lambda(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}) $；
(3)若 $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{c} $ 的夹角为$ \dfrac{\pi}{4} $，求 $ |\boldsymbol{c}| $ 的值.

答案： 11.
(1)【解】因为平面向量$a=(2,1)$，$b=(m - 2,4 - 2m)$，$a// b$，
所以$2(4 - 2m)=m - 2$，解得$m = 2$．
(2)【证明】因为$c=a + b$，$a=(2,1)$，所以$a - c=-b=(2 - m,2m - 4)$，
所以$a·(\lambda(a - c))=\lambda a·(a - c)=\lambda[2×(2 - m)+1×(2m - 4)]=0$，
所以对任意的$\lambda\neq0$，都有$a\perp(\lambda(a - c))$．
(3)【解】由题知$c=a + b=(2,1)+(m - 2,4 - 2m)=(m,5 - 2m)$，
因为$a$与$c$的夹角为$\frac{\pi}{4}$，
所以$\cos\frac{\pi}{4}=\frac{a· c}{|a||c|}=\frac{2m + 5 - 2m}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}×|c|}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则$|c|=\sqrt{10}$．

12. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，已知点 $ A(3,3) $，$ B(5,1) $，$ P(2,1) $.
(1)求 $ |\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}| $ 的值；
(2)设点 $ M $ 是坐标平面内一点，且四边形 $ APBM $ 是平行四边形，求点 $ M $ 的坐标；
(3)若点 $ N $ 是直线 $ OP $ 上的动点，求 $ \overrightarrow{NA}·\overrightarrow{NB} $ 的最小值.

答案：
12.【解】
(1)由题意可知$\overrightarrow{PA}=(1,2)$，$\overrightarrow{PB}=(3,0)$，$\therefore\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}=(-2,2)$，$\therefore|\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}|=\sqrt{(-2)^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}$．
(2)如图①所示，$\because$四边形$APBM$是平行四边形，故有$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BM}$，设$M(x,y)$，
则$\overrightarrow{PA}=(1,2)=\overrightarrow{BM}=(x - 5,y - 1)$，解得$x = 6$，$y = 3$，$\therefore M(6,3)$．

(3)如图②所示，易知直线$OP$的方程为$y=\frac{1}{2}x$，不妨设$N(2a,a)$，则$\overrightarrow{NA}·\overrightarrow{NB}=(3 - 2a,3 - a)·(5 - 2a,1 - a)=5a^{2}-20a + 18=5(a - 2)^{2}-2\geq - 2$，当且仅当$a = 2$，即$N(4,2)$时，$\overrightarrow{NA}·\overrightarrow{NB}$取得最小值$-2$．

13. [安徽宣城 2025 高一期末]在直角梯形 $ ABCD $ 中，已知 $ AB// DC $，$ AD\perp AB $，$ CD = 1 $，$ AD = 2 $，$ AB = 3 $，动点 $ E,F $ 分别在线段 $ BC $ 和 $ DC $ 上，$ AE $ 和 $ BD $ 交于点 $ M $，且 $ \overrightarrow{BE}=\lambda\overrightarrow{BC} $，$ \overrightarrow{DF}=(1 - \lambda)\overrightarrow{DC} $，$ \lambda\in[0,1] $.
(1)当 $ \lambda=\dfrac{1}{2} $ 时，求 $ \overrightarrow{AE}·\overrightarrow{BD} $ 的值；
(2)当 $ \lambda=\dfrac{2}{3} $ 时，求 $ \dfrac{DM}{MB} $ 的值；
(3)求 $ \left|\overrightarrow{AF}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AE}\right| $ 的取值范围.

答案： 13.【解】
(1)当$\lambda=\frac{1}{2}$时，$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，
因为$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，
所以$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}(-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，
所以$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$．
又$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$，
所以$\overrightarrow{AE}·\overrightarrow{BD}=(\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD})·(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}^{2}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}^{2}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}×2^{2}-\frac{2}{3}×3^{2}=2 - 6=-4$．
(2)当$\lambda=\frac{2}{3}$时，$\overrightarrow{BE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$，
由
(1)知$\overrightarrow{BC}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，
所以$\overrightarrow{BE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}(-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=-\frac{4}{9}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$，
所以$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}-\frac{4}{9}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{5}{9}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$．
因为$A$，$M$，$E$三点共线，所以存在$m$，使$\overrightarrow{AM}=m\overrightarrow{AE}=\frac{5}{9}m\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}m\overrightarrow{AD}$．
又因为$B$，$M$，$D$三点共线，所以$\frac{5}{9}m+\frac{2}{3}m=1$，解得$m=\frac{9}{11}$，
所以$\overrightarrow{AM}=\frac{5}{11}\overrightarrow{AB}+\frac{6}{11}\overrightarrow{AD}$，所以$11\overrightarrow{AM}=5\overrightarrow{AB}+6\overrightarrow{AD}$，所以$5(\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB})=6(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AM})$，即$5\overrightarrow{BM}=6\overrightarrow{MD}$，所以$\frac{DM}{MB}=\frac{5}{6}$
(3)由
(1)知$\overrightarrow{BC}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，
所以$\overrightarrow{BE}=\lambda\overrightarrow{BC}=\lambda(-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=-\frac{2}{3}\lambda\overrightarrow{AB}+\lambda\overrightarrow{AD}$．
因为$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{AD}+(1 - \lambda)\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AD}+\frac{1 - \lambda}{3}\overrightarrow{AB}$，
所以$\overrightarrow{AF}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}=(\frac{5}{6}-\frac{2}{3}\lambda)\overrightarrow{AB}+(1+\frac{\lambda}{2})\overrightarrow{AD}$，
所以$|\overrightarrow{AF}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}|^{2}=(\frac{5}{6}-\frac{2}{3}\lambda)^{2}\overrightarrow{AB}^{2}+2(\frac{5}{6}-\frac{2}{3}\lambda)(1+\frac{\lambda}{2})\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AD}+(1+\frac{\lambda}{2})^{2}\overrightarrow{AD}^{2}$
$=9(\frac{5}{6}-\frac{2}{3}\lambda)^{2}+4(1+\frac{\lambda}{2})^{2}=5\lambda^{2}-6\lambda+\frac{41}{4}=5(\lambda-\frac{3}{5})^{2}+\frac{169}{20}$，
由题意知$\lambda\in[0,1]$，
所以当$\lambda=\frac{3}{5}$时，$|\overrightarrow{AF}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}|$取得最小值$\frac{13\sqrt{5}}{10}$，
当$\lambda=0$时，$|\overrightarrow{AF}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}|$取得最大值$\frac{\sqrt{41}}{2}$，
所以$|\overrightarrow{AF}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}|$的取值范围是$[\frac{13\sqrt{5}}{10},\frac{\sqrt{41}}{2}]$．