《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

1. [四川成都七中2025高一期中]设$\{ \boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}\}$是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中不能作为一个基底的是(B)

A.$\{ \boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{e}_{2}\}$
B.$\{ 3\boldsymbol{e}_{1}-4\boldsymbol{e}_{2},6\boldsymbol{e}_{1}-8\boldsymbol{e}_{2}\}$
C.$\{ \boldsymbol{e}_{1}+2\boldsymbol{e}_{2},2\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}\}$
D.$\{ \boldsymbol{e}_{1},5\boldsymbol{e}_{2}\}$

答案： 1.B【解析】选项B中，$6\boldsymbol{e}_1 - 8\boldsymbol{e}_2 = 2(3\boldsymbol{e}_1 - 4\boldsymbol{e}_2)$，$\therefore 6\boldsymbol{e}_1 - 8\boldsymbol{e}_2$与$3\boldsymbol{e}_1 - 4\boldsymbol{e}_2$共线.
点悟：判断能否作为基底，本质是判断向量是否共线，共线不可作为基底，不共线可作为基底.
$\therefore$不能作为一个基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可作为一个基底.
故选B.

2. [陕西咸阳实验中学2024高一月考]如果$\{ \boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}\}$是某一平面内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是(B)

A.若存在实数$\lambda _{1},\lambda _{2}$使$\lambda _{1}\boldsymbol{e}_{1}+\lambda _{2}\boldsymbol{e}_{2}=\boldsymbol{0}$成立，则$\lambda _{1}=\lambda _{2}\neq 0$
B.该平面内任意向量$\boldsymbol{a}$都可以表示为$\boldsymbol{a}=$ $\lambda _{1}\boldsymbol{e}_{1}+\lambda _{2}\boldsymbol{e}_{2}$，其中$\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbf{R}$
C.$\lambda _{1}\boldsymbol{e}_{1}+\lambda _{2}\boldsymbol{e}_{2}(\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbf{R})$不一定在该平面内
D.对于该平面内任意向量$\boldsymbol{a}$，使$\boldsymbol{a}=\lambda _{1}\boldsymbol{e}_{1}+\lambda _{2}\boldsymbol{e}_{2}$的实数$\lambda _{1},\lambda _{2}$有无数对

答案： 2.B【解析】对于A，因为$\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2\}$是某一平面内所有向量的一个基底，所以$\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2$不共线.根据向量共线的充要条件可得，若存在实数$\lambda_1,\lambda_2$使$\lambda_1\boldsymbol{e}_1 + \lambda_2\boldsymbol{e}_2 = 0$成立，则$\lambda_1 = \lambda_2 = 0$，故A错误；
对于B，根据平面向量基本定理可判断B正确；
对于C，根据平面向量基本定理可得，$\lambda_1\boldsymbol{e}_1 + \lambda_2\boldsymbol{e}_2(\lambda_1,\lambda_2 \in \mathbb{R})$一定在该平面内，故C错误；
对于D，根据平面向量基本定理可得，对于该平面内任意向量$\boldsymbol{a}$，使$\boldsymbol{a} = \lambda_1\boldsymbol{e}_1 + \lambda_2\boldsymbol{e}_2$的实数$\lambda_1,\lambda_2$有且只有一对，故D错误.
故选B.
特别注意对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①$\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2$是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量$\boldsymbol{a}$都可以用$\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2$线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底.

3. 如图所示，平面内的两条相交直线$OP_{1}$和$OP_{2}$将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界).若$\overrightarrow {OP}=a\overrightarrow {OP_{1}}+b\overrightarrow {OP_{2}}$，且点$P$落在第Ⅲ部分，则实数$a,b$满足(B)


A.$a＞0,b＞0$
B.$a＞0,b＜0$
C.$a＜0,b＞0$
D.$a＜0,b＜0$

答案： 3.B【解析】取第Ⅲ部分内一点画图易得$a ＞ 0,b ＜ 0$.

4. 教材变式[河南部分名校2025高一联考]在平行四边形$ABCD$中，$\overrightarrow {AM}=3\overrightarrow {MD},\overrightarrow {DN}=5\overrightarrow {NB}$，记$\overrightarrow {AB}=\boldsymbol{a},\overrightarrow {AD}=\boldsymbol{b}$，则$\overrightarrow {MN}=$(B)

A.$\frac {3}{4}\boldsymbol{a}+\frac {5}{12}\boldsymbol{b}$
B.$\frac {5}{6}\boldsymbol{a}-\frac {7}{12}\boldsymbol{b}$
C.$\frac {5}{6}\boldsymbol{a}+\frac {7}{12}\boldsymbol{b}$
D.$\frac {3}{4}\boldsymbol{a}-\frac {5}{12}\boldsymbol{b}$

答案：
4.B【解析】如图，连接AN，由题知$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AN} - \frac{3}{4}\overrightarrow{AD}$，
其中$\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} = \overrightarrow{AD} + \frac{5}{6}\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AD} + \frac{5}{6}(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}) = \frac{5}{6}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow{AD}$，
故$\overrightarrow{MN} = \frac{5}{6}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow{AD} - \frac{3}{4}\overrightarrow{AD} = \frac{5}{6}\overrightarrow{AB} - \frac{7}{12}\overrightarrow{AD} = \frac{5}{6}\boldsymbol{a} - \frac{7}{12}\boldsymbol{b}$.故选B.

链接教材本题是教材第26页例1的同类试题，考查平面向量基本定理的应用及用基底表示图形中的向量.
利用已知向量表示未知向量时，通常借助向量加法、减法、数乘运算的几何意义，将向量集中在封闭的图形中，利用三角形法则或者平行四边形法则快速找到表示法.

5. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，在“赵爽弦图”中，若$\overrightarrow {BC}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow {BA}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow {BE}=3\overrightarrow {EF}$，则$\overrightarrow {BF}=$(B)


A.$\frac {12}{25}\boldsymbol{a}+\frac {9}{25}\boldsymbol{b}$
B.$\frac {16}{25}\boldsymbol{a}+\frac {12}{25}\boldsymbol{b}$
C.$\frac {4}{5}\boldsymbol{a}+\frac {3}{5}\boldsymbol{b}$
D.$\frac {3}{5}\boldsymbol{a}+\frac {4}{5}\boldsymbol{b}$

答案：
5.B【解析】如图，因为$\overrightarrow{BE} = 3\overrightarrow{EF}$，所以$\overrightarrow{BE} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BF},\overrightarrow{CF} = -\overrightarrow{AH} = -\frac{3}{4}\overrightarrow{AE}$，
所以$\overrightarrow{BF} = \boldsymbol{a} + \overrightarrow{CF} = \boldsymbol{a} - \frac{3}{4}\overrightarrow{AE}$①，
$\overrightarrow{BE} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BF} = \boldsymbol{b} + \overrightarrow{AE}$②，
由①$+\frac{3}{4}×$②得$\frac{25}{16}\overrightarrow{BF} = \boldsymbol{a} + \frac{3}{4}\boldsymbol{b}$，
即$\overrightarrow{BF} = \frac{16}{25}\boldsymbol{a} + \frac{12}{25}\boldsymbol{b}$.
故选B.

6. 如图，在$\triangle ABC$中，$D$是$BC$边上靠近点$C$的三等分点，$E$为$AD$中点.若$\overrightarrow {BE}=x\overrightarrow {AB}+ y\overrightarrow {AC}$，则$x=$(C)

A.$\frac {2}{3}$
B.$-\frac {4}{5}$
C.$-\frac {5}{6}$
D.$\frac {6}{7}$

答案： 6.C【解析】已知D是BC边上靠近点C的三等分点，所以$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.
点悟：由$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})$得到
又E为AD中点，所以$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}) - \overrightarrow{AB} = -\frac{5}{6}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，所以$x = -\frac{5}{6}$，故选C.

7. [江苏南京外国语学校2025高一阶段性测试]在平行四边形$ABCD$中，$\overrightarrow {CM}=2\overrightarrow {MD}$，$AM$交$BD$于点$Q$，若$\overrightarrow {AQ}=\lambda \overrightarrow {AD}+\mu \overrightarrow {AC}$，则$\lambda +\mu =$$\frac{3}{4}$.

答案：
7.$\frac{3}{4}$【解析】如图，在$□ ABCD$中，$DM // AB$，则$\triangle DQM \sim \triangle BQA$.
因为$CM = 2MD$，所以$DM = \frac{1}{3}DC$.又$AB = DC$，所以$DM = \frac{1}{3}AB$，所以$\frac{DM}{AB} = \frac{QM}{AQ} = \frac{1}{3}$，
故$\overrightarrow{AQ} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AM} = \frac{3}{4}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DM}) = \frac{3}{4}\overrightarrow{AD} + \frac{3}{4} × \frac{1}{3}\overrightarrow{DC} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{4}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$，即$\lambda = \frac{1}{2},\mu = \frac{1}{4}$，故$\lambda + \mu = \frac{3}{4}$.

8. [广东惠州2025高一月考]如图，在$\triangle ABC$中，点$D$是$BC$的中点，点$E$在边$AC$上，且满足$3\overrightarrow {AE}=\overrightarrow {AC}$，$BE$交$AD$于点$F$，设$\overrightarrow {BF}=\lambda \overrightarrow {AB}+\mu \overrightarrow {AC}(\lambda ,\mu \in \mathbf{R})$，则$\lambda +\mu =$(B)


A.$-1$
B.$-\frac {1}{2}$
C.$\frac {1}{2}$
D.$1$

答案： 8.B【解析】设$\overrightarrow{AF} = m\overrightarrow{AD}(0 ＜ m ＜ 1)$，因为$B,F,E$三点共线，所以可设$\overrightarrow{AF} = k\overrightarrow{AE} + (1 - k)\overrightarrow{AB}$，
又$3\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AC}$，所以$\overrightarrow{AF} = \frac{k}{3}\overrightarrow{AC} + (1 - k)\overrightarrow{AB}$.
又因为$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{m}\overrightarrow{AF}$，
所以$\overrightarrow{AF} = \frac{k}{3}\overrightarrow{AC} + (1 - k)\overrightarrow{AB} = \frac{m}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{m}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{m}{2}\overrightarrow{AC}$，
所以$\begin{cases} \frac{k}{3} = \frac{m}{2} \\ 1 - k = \frac{m}{2} \end{cases}$，解得$\begin{cases} m = \frac{1}{2} \\ k = \frac{3}{4} \end{cases}$，
所以$\overrightarrow{AF} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$，所以$\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AB} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AC} - \frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$.
又$\overrightarrow{BF} = \lambda\overrightarrow{AB} + \mu\overrightarrow{AC}$，所以$\lambda = -\frac{3}{4},\mu = \frac{1}{4}$，则$\lambda + \mu = -\frac{1}{2}$.故选B.
易错警示对于向量的分解问题，求解的一个重要方法是待定系数法，然后利用向量相等求解参数.若不能正确设出向量分解式，则难以求解.