《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

1. (多选)下列关于抽样的说法正确的是 (ABD)

A.总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法
B.在对分层随机抽样的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样
C.分层随机抽样的整个抽样过程中，每个个体被抽取的可能性相等
D.百货商场的抽奖活动是抽签法

答案： 1.ABD 【解析】总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法，因此A正确；对分层随机抽样的每一层进行抽样时，采用的是简单随机抽样，因此B正确；按比例分配的分层随机抽样的整个抽样过程中，各个体被抽取的可能性相等，不按比例分配的分层随机抽样的整个抽样过程中，各个体被抽取的可能性不一定相等，C错误；百货商场的抽奖活动是抽签法，也叫抓阄，因此D正确.故选ABD.

2. 教材变式 [安徽合肥一中 2025 高一期末]某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用按比例分配的分层随机抽样的方法从高一、高二、高三年级学生中选取 90 人进行调查，已知该校高一年级学生有 400 人，高二年级学生有 500 人，高三年级学生有 600 人，则抽取的学生中，高一年级有 (D)

A.40 人
B.36 人
C.30 人
D.24 人

答案： 2.D【解析】由题意可知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，共1500人，要抽取90人，则抽样比为$\frac{90}{1500}=\frac{3}{50}$，则根据按比例分配的分层随机抽样的特征可知，抽取的学生中，高一年级有$400 × \frac{3}{50}=24$人.故选D.
链接教材本题是教材第181页问题3的变式，考查比例分配的分层随机抽样中每层样本数的计算.基本解题思路是先求出抽样比=$\frac{样本容量}{总体数量}$，然后将各层的数量和抽样比相乘即可得到各层所抽取的样本数.
特别注意分层随机抽样中计算结果若为小数，需要根据实际意义确定是否取整，取整的办法没有特别说明的情况下是采用四舍五入.

3. [福建厦门 2025 高一期末]某企业生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 2:3:5，现用按比例分配的分层随机抽样方法，抽取一个容量为 $ n $ 的样本，样本中甲型号产品有 10 件，则 $ n $ 的值为 (C)

A.20
B.30
C.50
D.100

答案： 3.C【解析】因为某企业生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用按比例分配的分层随机抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中甲型号产品有10件，所以$\frac{10}{n}=\frac{2}{2+3+5}$，解得n=50.故选C.
规律方法样本中各层的比例和总体中各层的比例一致，据此可求出各层的样本量或样本容量.

4. 现有以下两项调查：①从 10 台冰箱中抽取 3 台进行质量检查；②某社区有 600 户家庭，其中高收入家庭 180 户，中等收入家庭 360 户，低收入家庭 60 户，为了调查家庭购买力的某项指标，拟抽取一个容量为 30 的样本. 则完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是 (C)

A.①②都采用简单随机抽样
B.①②都采用分层随机抽样
C.①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样
D.①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样

答案： 4.C【解析】①的总体中的个体数较少，宜采用简单随机抽样，②中600户家庭中收入存在较大差异，层次比较明显，宜采用分层随机抽样.故选C.
规律方法抽样方法的选取
(1)看总体是否由差异明显的几个部分组成.若是，则选用分层随机抽样；否则，考虑用简单随机抽样.
(2)看总体容量和样本容量的大小.当总体容量较小时，采用抽签法；当总体容量较大、样本容量较小时，采用随机数法.简单来说，总体容量小，简单随机抽样；总体差异明显，分层随机抽样.在实际抽样中，为了使样本具有代表性，通常要同时使用几种抽样方法.

5. [河北石家庄 2025 高一月考]为了解高一、高二、高三年级学生的身高情况，现用比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为 660 的样本，三个年级学生人数之比依次为 3:4: $ k $. 已知高一年级共抽取了 180 人，则高三年级抽取的人数为240.

答案： 5.240【解析】因为三个年级学生人数之比依次为3:4:k，所以高一年级抽取的比例为$\frac{3}{3+4+k}=\frac{180}{660}$，得k=4.则高三年级抽取的人数为$660 × \frac{4}{3+4+4}=240$.

6. 教材变式 [广东广州 2024 高一期末]某中学为了解在校高中学生的身高情况，在高中三个年级各随机抽取了 10% 的学生，并分别计算了三个年级抽取学生的平均身高，数据如表：

则该校高中学生的平均身高可估计为 (C)

A.$ 3.6\overline{x}+3.4\overline{y}+3.0\overline{z} $
B.$ \frac{\overline{x}+\overline{y}+\overline{z}}{2} $
C.$ 0.36\overline{x}+0.34\overline{y}+0.30\overline{z} $
D.$ \frac{\overline{x}+\overline{y}+\overline{z}}{3} $

答案： 6.C【解析】由题意可知，抽取的总人数为100，各年级的频率依次为0.36,0.34,0.30，所以该校高中学生的平均身高可估计为$0.36x+0.34y+0.30z$.故选C.
链接教材本题是教材185页练习第3题的同类试题，考查分层随机抽样平均数的计算.计算分层随机抽样的平均数的步骤：
(1)求样本中不同层的平均数$\bar{x_1},\bar{x_2},…,\bar{x_n}$；
(2)求样本中不同层的相应权重$\omega_1,\omega_2,…,\omega_n$；
(3)应用分层随机抽样的平均数公式$\bar{x}=\omega_1\bar{x_1}+\omega_2\bar{x_2}+⋯+\omega_n\bar{x_n}=\sum_{i=1}^{n}\omega_i\bar{x_i}$求出分层随机抽样的平均数.

7. [江苏无锡 2025 高一月考]在某校高一年级的 800 名学生中，男生有 360 名，女生有 440 名. 现采用比例分配的分层随机抽样方法，从中抽取样本量为 60 的样本，计算出男生样本的平均数为 171 cm，女生样本的平均数为 160 cm，则样本的平均数为164.95cm.

答案： 7.164.95cm【解析】依题意，抽样比为$\frac{60}{800}=\frac{3}{40}$，则男生应抽$360 × \frac{3}{40}=27$名，女生应抽$440 × \frac{3}{40}=33$名，所以样本平均数估计为$w=\frac{27}{60} × 171+\frac{33}{60} × 160=164.95$cm.
规律方法在分层随机抽样中，若第一层的样本量为m，平均数为x；第二层的样本量为n，平均数为y，则用样本平均数估计的总体平均数为$\frac{mx+ny}{m+n}$

8. 某单位有老年人 28 人，中年人 54 人，青年人 81 人，为了调查他们的身体情况，需从中抽取一个容量为 36 的样本，则适合的抽样方法是 (C)

A.抽签法
B.随机数法
C.直接采用分层随机抽样
D.先从老年人中剔除 1 人，再用分层随机抽样

答案： 8.C【解析】直接采用比例分配的分层随机抽样，老年人、中年人和青年人中应抽取的人数分别为$\frac{28}{28+54+81} × 36 \approx 6,\frac{54}{28+54+81} × 36 \approx 12,\frac{81}{28+54+81} × 36 \approx 18$.故选C.
易错警示比例分配的分层随机抽样的一个很重要的特点是每个个体被抽到的可能性是相等的.当按照比例计算出的值不是整数时，一般采用四舍五入的方法取值，若四舍五入后抽到的样本量与要求的不相同，则可根据问题的实际意义适当处理，使之相同，这只是细节性问题，但未改变分层随机抽样的本质.