《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

1. (多选)[江苏镇江2025高一质检]已知△ABC是边长为3的等边三角形，点P在△ABC内(包括边界)，则下列说法正确的是(BCD)

A.$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{BC}=\frac{9}{2}$
B.若$\overrightarrow{BP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PC}$，则$|\overrightarrow{AP}|=\sqrt{7}$
C.若$|\overrightarrow{AP}| = 2$，则点P的轨迹长度为$\frac{2\pi}{3}$
D.若$|\overrightarrow{AP}| = |\overrightarrow{BP}|=\sqrt{3}$，则$|\overrightarrow{CP}|=\sqrt{3}$

答案： 1.BCD　【解析】对于A选项，$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{BA}·\overrightarrow{BC}=-|\overrightarrow{BA}|·|\overrightarrow{BC}|\cos\frac{\pi}{3}=-3^2×\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}$，A错误；
对于B选项，若$\overrightarrow{BP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PC}$，则$\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP})$，所以$3\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$，
故$9\overrightarrow{AP}^2=(2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})^2=4\overrightarrow{AB}^2+4\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}^2=4|\overrightarrow{AB}|^2+4|\overrightarrow{AB}|·|\overrightarrow{AC}|\cos\frac{\pi}{3}+|\overrightarrow{AC}|^2=4×3^2+4×3^2×\frac{1}{2}+3^2=63$，故$|\overrightarrow{AP}|=\sqrt{7}$，B正确；
对于C选项，$|\overrightarrow{AP}|=2$，则点P的轨迹是半径为2，圆心角为$A=\frac{\pi}{3}$的圆弧，
避坑：不要忽略点P在$\triangle ABC$内
故点P的轨迹长度为$\frac{\pi}{3}×2=\frac{2\pi}{3}$，C正确；
对于D选项，因为$|\overrightarrow{AP}|=|\overrightarrow{BP}|=\sqrt{3}$，$|\overrightarrow{AB}|=3$，所以$|\overrightarrow{AP}|^2=|\overrightarrow{BP}-\overrightarrow{BA}|^2=|\overrightarrow{BP}|^2-2\overrightarrow{BA}·\overrightarrow{BP}+|\overrightarrow{BA}|^2=3-2×3×\sqrt{3}\cos\angle ABP+9=3$，解得$\cos\angle ABP=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
因为$0\leq\angle ABP\leq\pi$，所以$\angle ABP=\frac{\pi}{6}$，所以$\angle CAP=\angle CBP=\frac{\pi}{3}-\angle ABP=\frac{\pi}{6}$，
所以$|\overrightarrow{CP}|=|\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC}|=\sqrt{(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC})^2}=\sqrt{|\overrightarrow{AP}|^2-2\overrightarrow{AP}·\overrightarrow{AC}+|\overrightarrow{AC}|^2}=\sqrt{3-2\sqrt{3}×3×\frac{\sqrt{3}}{2}+9}=\sqrt{3}$，D正确。
故选BCD。

2. [河南郑州2024高一月考]如图，在△ABC中，∠BAC = 120°，AB = AC = 3，点D在线段BC上，且$BD=\frac{1}{2}DC$。求：
(1)AD的长等于$\sqrt{3}$；
(2)∠DAC的大小为$90^{\circ}$。

答案： 2.
(1)$\sqrt{3}$　
(2)$90^{\circ}$　【解析】
(1)设$\overrightarrow{AB}=a$，$\overrightarrow{AC}=b$，则$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}a+\frac{1}{3}b$。
$\therefore|\overrightarrow{AD}|^2=(\frac{2}{3}a+\frac{1}{3}b)^2=\frac{4}{9}a^2+\frac{2×2}{9}a· b+\frac{1}{9}b^2=\frac{4}{9}×9+2×\frac{2}{9}×3×3×\cos120^{\circ}+\frac{1}{9}×9=3$，$\therefore|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{3}$。
(2)设$\angle DAC=\theta(0^{\circ}＜\theta＜120^{\circ})$，则$\theta$为$\overrightarrow{AD}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角。
$\because\cos\theta=\frac{\overrightarrow{AD}·\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{(\frac{2}{3}a+\frac{1}{3}b)· b}{\sqrt{3}×3}=\frac{\frac{2}{3}a· b+\frac{1}{3}b^2}{3\sqrt{3}}=\frac{\frac{2}{3}×3×3×(-\frac{1}{2})+\frac{1}{3}×9}{3\sqrt{3}}=0$，$\therefore\theta=90^{\circ}$，即$\angle DAC=90^{\circ}$。

3. [广东揭阳2025高一月考]已知三个点A(0,0)，B(1,2)，D(4, - 2)。
(1)求证：$AB\perp AD$；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两条对角线所成的锐角的正切值。

答案： 3.
(1)【证明】由$A(0,0)$，$B(1,2)$，$D(4,-2)$，得$\overrightarrow{AB}=(1,2)$，$\overrightarrow{AD}=(4,-2)$，
则$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AD}=1×4+2×(-2)=0$，即$\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AD}$，则$AB\perp AD$。
(2)【解】由
(1)知$\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AD}$，$\because$四边形ABCD为矩形，$\therefore\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$。
设点C坐标为$(x,y)$，则$\overrightarrow{AB}=(1,2)$，$\overrightarrow{DC}=(x - 4,y + 2)$，
$\therefore\begin{cases}x - 4 = 1\\y + 2 = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 5\\y = 0\end{cases}$，故点C的坐标为$(5,0)$。
$\because\overrightarrow{AC}=(5,0)$，$\overrightarrow{BD}=(3,-4)$，$\therefore\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{BD}=15 + 0 = 15$，$|\overrightarrow{AC}|=5$，$|\overrightarrow{BD}|=5$。
设$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{BD}$的夹角为$\theta$，则$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{BD}|}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}$，
$\therefore\sin\theta=\sqrt{1 - \cos^2\theta}=\frac{4}{5}$，$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{4}{3}$，
故矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的正切值为$\frac{4}{3}$。

4. [陕西榆林多校2025高一期中联考]一物体在力F的作用下，由点A(1,4)移动到点B(6,2)，若$\boldsymbol{F}=(-1,3)$，则F对物体所做的功为(A)

A.- 11
B.11
C.- 1
D.1

答案： 4.A　【解析】由题意可得$\overrightarrow{AB}=(5,-2)$，又因为$F=(-1,3)$，所以$F$对物体所做的功为$F·\overrightarrow{AB}=-5 - 6=-11$。故选A。

5. [安徽宿州示范高中2024高一期中]若同一平面内的三个力$\boldsymbol{F}_1$，$\boldsymbol{F}_2$，$\boldsymbol{F}_3$作用于同一个物体，且该物体处于平衡状态。已知$|\boldsymbol{F}_1| = 3$，$|\boldsymbol{F}_2| = 4$，且$\boldsymbol{F}_1$与$\boldsymbol{F}_2$的夹角为120°，则力$\boldsymbol{F}_3$的大小为(D)

A.37
B.$\sqrt{37}$
C.13
D.$\sqrt{13}$

答案： 5.D　【解析】由题意可知，$F_1 + F_2 + F_3 = 0$，所以$F_3=-(F_1 + F_2)$，
所以$|F_3|^2=F_3^2=(F_1 + F_2)^2=F_1^2+2F_1· F_2+F_2^2=3^2+2×3×4×\cos120^{\circ}+4^2=13$，故$|F_3|=\sqrt{13}$，则力$F_3$的大小为$\sqrt{13}$。故选D。

6. [山东烟台2025高一期中]一条东西方向的河流两岸平行，河宽800m，水流的速度为向东4km/h。河南岸有一码头A，码头A正对面有一货站B(AB与河的方向垂直)，B的正西方向且与B相距600m另有货站C，已知一货船匀速航行，当货船自码头A航行到货站C航程最短时，合速度为5km/h。
(1)求货船航行速度的大小；
(2)若货船从A出发垂直到达正对岸的货站B处，求货船到达B处所需时间。

答案：
6.【解】
(1)以$A$为坐标原点，以东向为$x$轴正方向，以北向为$y$轴正方向建立平面直角坐标系，
货船从码头$A$航行到货站$C$的最短路径要求合速度方向由$A$指向$C$，
设货船在静水中的速度为$\overrightarrow{AQ}=(x,y)$，水流速度为向东$4km/h$，即$\overrightarrow{AP}=(4,0)$，合速度为水流速度与船速的和$\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}=(x + 4,y)$。
由题意，合速度方向与向量$\overrightarrow{AC}=(-0.6,0.8)$同向，且大小为$5km/h$，
设合速度$\overrightarrow{AR}=k(-0.6,0.8)$，则$\sqrt{(-0.6k)^2+(0.8k)^2}=5\Rightarrow k = 5$。
因此合速度为$\overrightarrow{AR}=(-3,4)$，
则$\begin{cases}x + 4 = -3\\y = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = -7\\y = 4\end{cases}$，
故货船速度大小为$|\overrightarrow{AQ}|=\sqrt{(-7)^2+4^2}=\sqrt{65}km/h$。

(2)货船要垂直到达正对岸$B$处，即货船的实际速度$\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{AP}$，且$\overrightarrow{AR}\perp\overrightarrow{AP}$，
设$\overrightarrow{AQ}'=(x',y')$，$\overrightarrow{AP}=(4,0)$，则$\overrightarrow{AR}'=(x' + 4,y')$。
由$\overrightarrow{AR}'·\overrightarrow{AP}=0$得$x' + 4 = 0$，则$x' = -4$，则$\overrightarrow{AQ}'=(-4,y')$，
由
(1)知船速大小为$\sqrt{65}km/h$，
故$(-4)^2+y'^2=65\Rightarrow y' = 7$，
因为河宽$0.8km$，所以货船到达$B$处所需时间$t=\frac{0.km}{7}=\frac{4}{35}h$。