《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

18. （本小题满分17分）[安徽合肥2025高一月考]已知$i$为虚数单位，$z_{1}$，$z_{2}$分别是方程$x^{2} + mx + n = 0(m,n \in \mathbf{R},\Delta = m^{2} - 4n ＜ 0)$的两个根.
（1）设$z_{1}$，$z_{2}$满足方程$z_{1} + (1 - i)z_{2} = 9 + 6i$，求$n^{\frac{m}{12}}$；
（2）设$z_{1} = 1 + 2i$，复数$z_{1}$，$z_{2}$对应的向量分别是$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$，若向量$t\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}$的夹角为钝角，求实数$t$的取值范围.

答案： 18.【解】
(1)由$z_1,z_2$分别是方程$x^2 + mx + n = 0(m,n\in R,\Delta=m^2 - 4n＜0)$的两个根，
不妨设$z_1 = a + bi(a,b\in R)$，易知$z_2 = a - bi$，
因为$z_1,z_2$满足方程$z_1+(1 - i)z_2 = 9 + 6i$，则$a + bi+(1 - i)(a - bi)=9 + 6i$，
化简可得$2a - b - ai = 9 + 6i$，
所以$\begin{cases}2a - b = 9\\-a = 6\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-6\\b=-21\end{cases}$，
所以$z_1=-6 - 21i,z_2=-6 + 21i$.
根据根与系数的关系可得$z_1 + z_2=-m=-12,z_1z_2 = n=(-6)^2+21^2=477$，即$m = 12,n = 477$，
所以$n^{\frac{m}{12}}=477^{\frac{12}{12}}=477$.
(2)由$z_1 = 1 + 2i$可得$z_2 = 1 - 2i$，
因为复数$z_1,z_2$对应的向量分别是$a$与$b$，所以$a=(1,2),b=(1,-2)$，可得$ta - b=t(1,2)-(1,-2)=(t - 1,2t + 2)$，$a + 2b=(1,2)+2(1,-2)=(3,-2)$.
若向量$ta - b$与$a + 2b$的夹角为钝角，则$(ta - b)·(a + 2b)＜0$，且$3(2t + 2)+2(t - 1)\neq0$，
即$3t - 3 - 4t - 4＜0$，且$t\neq-\frac{1}{2}$，
解得$t＞-7$且$t\neq-\frac{1}{2}$，故实数$t$的取值范
围是$(-7,-\frac{1}{2})\cup(-\frac{1}{2},+\infty)$.

19. （本小题满分17分）[山东菏泽2025高一期中]已知：①任何一个复数$z = a + bi$都可以表示成$r(\cos\theta + i\sin\theta)$的形式，其中$r$是复数$z$的模，$\theta$是以实轴的非负半轴为始边，向量$\overrightarrow{OZ}$（复数$z$在复平面内对应的点为$Z$）所在射线（射线$OZ$）为终边的角，叫做复数$z = a + bi$的辐角，$r(\cos\theta + i\sin\theta)$叫做复数$z = a + bi$的三角形式.
②$e^{ix} = \cos x + i\sin x$被称为欧拉公式，是复数的指数形式.
③方程$x^{n} = 1$（$n$为正整数）有$n$个不同的复数根.
（1）设$\omega = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$，求$\omega^{2024}$；
（2）试求出所有满足方程$x^{6} = 1$的复数$x$的值所组成的集合.

答案： 19.【解】
(1)依题意，$\omega=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}=e^{i\frac{2\pi}{3}}$，
所以$\omega^{2024}=(e^{i\frac{2\pi}{3}})^{2024}=e^{i\frac{4048\pi}{3}}=\cos\frac{4048\pi}{3}+i\sin\frac{4048\pi}{3}=\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$.
(2)设$x=r(\cos\theta+i\sin\theta)(r＞0)$，
则$x^6=r^6(\cos6\theta+i\sin6\theta)^6=r^6·(e^{i6\theta})^6=r^6(\cos6\theta+i\sin6\theta)=1$，
故$r^6\cos6\theta=1,r^6\sin6\theta=0$，
故$r = 1,\cos6\theta=1,\sin6\theta=0$，
故$6\theta=2k\pi,k\in Z$，解得$\theta=\frac{k\pi}{3},k\in Z$，
由终边相同的角的意义，取$\theta\in[0,2\pi)$，
则$k = 0,1,2,3,4,5$，则对应的$\theta$依次为$0,\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\pi,\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$，
因此对应的$x$依次为$1,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-1,-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$，
所以所求的集合是$\left\{1,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-1,-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right\}$