《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

1. [浙江湖州 2025 高一期末]已知样本数据 $ x_1 $，$ x_2 $，$ x_3 $，$ x_4 $，$ x_5 $ 的平均数为 $ \overline{x} $，方差为 $ s^2 $，若样本数据 $ ax_1 + 6,ax_2 + 6,·s,ax_n + 6 $ 的平均数为 $ 4\overline{x} $，方差为 $ 4s^2 $，则 $ \overline{x} = $(C)

A.3
B.-3
C.1 或 3
D.-1 或 3

答案： 1. C 【解析】因为样本数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数为$\bar{x}，$方差为$s^2，$
则样本数据$ax_1+6,ax_2+6,·s,ax_n+6$的平均数为$a\bar{x}+6，$方差为$a^2s^2，$
所以$\begin{cases} a\bar{x}+6=4\bar{x} \\ a^2s^2=4 \end{cases}，$解得$\begin{cases} a=2 \\ \bar{x}=3 \end{cases}，$或$\begin{cases} a=-2 \\ \bar{x}=1 \end{cases}，$故选C.

2. [四川绵阳 2025 高一联考]甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们成绩(环数)的频数分布直方图如图所示，则甲、乙、丙三人训练成绩的标准差 $ s_{甲} $、$ s_{乙} $、$ s_{丙} $ 的大小关系是(C)


A.$ s_{丙} ＞ s_{乙} ＞ s_{甲} $
B.$ s_{甲} ＞ s_{丙} ＞ s_{乙} $
C.$ s_{丙} ＞ s_{甲} ＞ s_{乙} $
D.$ s_{乙} ＞ s_{丙} ＞ s_{甲} $

答案： 2. C 【解析】由题图甲可知，$\bar{x}_{甲}=\frac{3 × 6+4 × 6+5 × 6+6 × 6+7 × 6+8 × 6+9 × 6}{6 × 7}=6，$
$s_{甲}^2=\frac{1}{42} × (6 × 3^2+6 × 2^2+6 × 1^2+6 × 0^2+6 × 1^2+6 × 2^2+6 × 3^2)=4，$$\therefore s_{甲}=\sqrt{4}=2；$
由题图乙可知，$\bar{x}_{乙}=\frac{3 × 3+5 × 4+8 × 5+10 × 6+8 × 7+5 × 8+3 × 9}{3+5+8+10+8+5+3}=6，$
$s_{乙}^2=\frac{1}{42} × (3 × 3^2+5 × 2^2+8 × 1^2+10 × 0^2+8 × 1^2+5 × 2^2+3 × 3^2) \approx 2.6，$$\therefore s_{乙} \approx \sqrt{2.6} \approx 1.6；$
由题图丙可知，$\bar{x}_{丙}=\frac{8 × 3+5 × 4+3 × 5+10 × 6+3 × 7+5 × 8+8 × 9}{8+5+3+10+3+5+8}=6，$
$s_{丙}^2=\frac{1}{42} × (8 × 3^2+5 × 2^2+3 × 1^2+10 × 0^2+3 × 1^2+5 × 2^2+8 × 3^2) \approx 4.5，$$\therefore s_{丙} \approx \sqrt{4.5} \approx 2.1.$
故$s_{丙}＞s_{甲}＞s_{乙}，$故选C.
名师点拨 方差用于刻画数据的“波动程度”，方差越小越稳定，越大越波动，此题可以结合图形特征分析，数据集中在平均数附近的一组方差较小，分散到两端的方差较大.
高中必刷题 数学

3. (多选)[辽宁协作体 2025 高一期末]数据 $ x_1 $，$ x_2 $，$ x_3 $，$ x_4 $，$ x_5 $ 的平均数、中位数都是 $ x_3 $，则(AC)

A.数据 $ x_1,x_2,x_3,x_4,x_5 $ 与数据 $ x_1,x_2,x_4,x_5 $ 的平均数相等
B.数据 $ x_1,x_2,x_3,x_4,x_5 $ 与数据 $ x_1,x_2,x_4,x_5 $ 的方差相等
C.数据 $ x_1,x_2,x_3,x_4,x_5 $ 与数据 $ x_1,x_2,x_4,x_5 $ 的极差相等
D.数据 $ x_1,x_2,x_3,x_4,x_5 $ 与数据 $ x_1,x_2,x_4,x_5 $ 的中位数相等

答案： 3. AC 【解析】设数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数为$\bar{x}，$则$\bar{x}=x_3，$
数据$x_1,x_2,x_4,x_5$的平均数为$\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5 - x_3}{4}=\frac{5\bar{x}-x_3}{4}=\bar{x}，$A正确.
数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的方差$s^2=\frac{1}{5} [(x_1 - \bar{x})^2+(x_2 - \bar{x})^2+(x_3 - \bar{x})^2+(x_4 - \bar{x})^2+(x_5 - \bar{x})^2]，$
数据$x_1,x_2,x_4,x_5$的方差$s_1^2=\frac{1}{4} [(x_1 - \bar{x})^2+(x_2 - \bar{x})^2+(x_4 - \bar{x})^2+(x_5 - \bar{x})^2]，$
所以数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$与数据$x_1,x_2,x_4,x_5$的方差不一定相等，B错误.
由题知$x_3$不是$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$中的最大或最小的值，所以数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$与数据$x_1,x_2,x_4,x_5$的极差相等，C正确.
数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$与数据$x_1,x_2,x_4,x_5$的中位数不一定相等，
如数据2,2,5,7,9的平均数、中位数都是5，但数据2,2,7,9的中位数不是5，D错误. 故选AC.

4. 在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三年级派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有 10 位选手. 记录参赛人员失分(均为非负整数)情况，若小组的每位选手失分都不超过 7 分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据的相关信息如下，则一定为“优秀小组”的是(C)

A.甲组:中位数为 3，极差为 5
B.乙组:平均数为 2，众数为 2
C.丙组:平均数为 2，方差为 3
D.丁组:平均数为 2，第 85 百分位数为 7

答案： 4. C 【解析】A选项，假设存在选手失分超过7分，令最高失分为8分，根据极差为
点悟：先假设一个与题干要求矛盾的例子存在，再推理说明是这类题的常用方法
5，得到最低失分为3分，此时中位数可以为3，故假设可以成立，故A不符合；
B选项，假设乙组的失分情况为0,0,1,1,2,2,2,2,2,8，满足平均数为2，众数为2，但该组不为“优秀小组”，故B不符合；
C选项，设丙组的失分情况从小到大排列依次为$x_1,x_2,·s,x_{10}，$
丙组平均数为2，方差为3，即$(x_1 - 2)^2+(x_2 - 2)^2+·s+(x_{10} - 2)^2=30，$
若$x_{10}=8，$则$(x_{10} - 2)^2=36＞30，$不合要求，故$x_{10} \leq 7，$因此可知该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，故C符合；
D选项，85% × 10=8.5，故从小到大第9个数为第85百分位数，
即从小到大第9个数为7，假设丁组失分情况为0,0,0,0,0,0,0,5,7,8，满足平均数为2，第85百分位数为7，但不是“优秀小组”，故D不符合. 故选C.

5. [黑龙江大庆实验中学 2025 高一期末]若一组样本数据 $ x_1,x_2,x_3,x_4 $ 的平均数为 2，方差为 4，则数据 $ x_1,x_2,x_3,x_4,2x_1 + 2,2x_2 + 2,2x_3 + 2,2x_4 + 2 $ 的方差为14.

答案： 5. 14 【解析】因为数据$x_1,x_2,x_3,x_4$的平均数为2，方差为4，所以$\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}=2，$即$x_1+x_2+x_3+x_4=8.$
由$\frac{1}{4} [(x_1 - 2)^2+(x_2 - 2)^2+(x_3 - 2)^2+(x_4 - 2)^2]=4，$得$(x_1 - 2)^2+(x_2 - 2)^2+(x_3 - 2)^2+(x_4 - 2)^2=16，$
则$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2 - 4(x_1+x_2+x_3+x_4)+4 × 4=16，$
即$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=32.$
设数据$x_1,x_2,x_3,x_4,2x_1+2,2x_2+2,2x_3+2,2x_4+2$的平均数为$\bar{x}，$方差为$s^2，$
则$\bar{x}=\frac{1}{8} (x_1+x_2+x_3+x_4+2x_1+2+2x_2+2+2x_3+2+2x_4+2)=\frac{1}{8} [3(x_1+x_2+x_3+x_4)+8]=4，$
则$s^2=\frac{1}{8} [(x_1 - 4)^2+·s+(x_4 - 4)^2+(2x_1+2 - 4)^2+·s+(2x_4 - 4)^2]=\frac{1}{8} [(x_1 - 4)^2+·s+(x_4 - 4)^2+(2x_1 - 2)^2+·s+(2x_4 - 2)^2]=\frac{1}{8} [5(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)-16(x_1+x_2+x_3+x_4)+4 × 4^2+4 × 2^2]=14.$

6. [湖北宜昌 2025 高一期末]汽车智能化——无人驾驶汽车成为汽车行业发展趋势. 某汽车研发部门为了解客户对无人驾驶汽车的性能满意情况，随机抽取 200 名客户对无人驾驶汽车的性能进行打分，发现得分均在 $[40,100]$ 内，将这些数据分成 6 组:$[40,50)$，$[50,60)$，$[60,70)$，$[70,80)$，$[80,90)$，$[90,100]$，并绘制出样本的频率分布直方图，因保存不当，使得图形残缺，如图所示.
(1)求样本中得分在 $[70,80)$ 内的客户人数并估计样本的中位数；
(2)已知得分在 $[60,70)$ 内的样本数据的平均值为 63，方差为 5，得分在 $[70,80)$ 内的样本数据的平均值为 78，方差为 2，求得分在 $[60,80)$ 内的样本数据的平均值与方差.

答案： 6.【解】
(1)由题可知，得分在[70,80)内的频率为1 - 10 × (0.005+0.010+0.015+0.015+0.025)=0.30，
所以样本中得分在[70,80)内的客户人数为200 × 0.30=60.
由图可知，得分在[40,70)内的频率为10 × (0.005+0.015+0.015)=0.35，在[70,80)内的频率为0.30，
设样本的中位数为m，则$m \in [70,80)，$
0.35+(m - 70) × 0.030=0.5，解得m=75，
故样本的中位数为75.
(2)根据频率分布直方图可知，得分在[60,70)，[70,80)内的样本数据的频数分别为30,60，所以得分在[60,80)内的样本数据的平均值为$\frac{30 × 63+60 × 78}{30+60}=73.$
得分在[60,80)内的样本数据的方差为
$\frac{1}{90} × [30 × (5+(63 - 73)^2)+60 × (2+(78 - 73)^2)]=53.$