《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

6. 下列说法正确的是(D)

A.若直线 $ a // $ 平面 $ \alpha $，直线 $ b // $ 平面 $ \alpha $，则直线 $ a // $ 直线 $ b $
B.若直线 $ a // $ 平面 $ \alpha $，直线 $ a $ 与直线 $ b $ 相交，则直线 $ b $ 与平面 $ \alpha $ 相交
C.若直线 $ a // $ 平面 $ \alpha $，直线 $ a // $ 直线 $ b $，则直线 $ b // $ 平面 $ \alpha $
D.过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行

答案： 6.D　[解析]A中，直线$a$与直线$b$也可能异面、相交，所以A不正确；B中，直线$b$也可能与平面$\alpha$平行，所以B不正确；C中，直线$b$也可能在平面$\alpha$内，所以C不正确；过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行，且过一条直线可以作无数个平面（这个平面不经过已知直线），故D正确。故选D。

7. [湖南长沙 2025 高一期末]如图，在四棱锥 $ P - ABCD $ 中，$ M,N $ 分别为 $ AC,PC $ 上的点，且 $ MN // $ 平面 $ PAD $，则(B)

A.$ MN // PD $
B.$ MN // PA $
C.$ MN // AD $
D.$ MN // BC $

答案： 7.B　[解析]因为$MN //$平面$PAD$，$MN \subset$平面$PAC$，平面$PAD \cap$平面$PAC = PA$，所以$MN // PA$。故选B。

8. [河南周口 2025 高一诊断性考试]如图，正方体 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 的棱长为 3，点 $ N $ 在 $ BD $ 上，点 $ M $ 在 $ B_1C $ 上，且 $ CM = \sqrt{2} $，$ MN // $ 平面 $ AA_1B_1B $，则 $ BN $ 的长为2\sqrt{2}。

答案：
8.$2\sqrt{2}$　[解析]如图，作$ME // CB$交$BB_1$于点$E$，作$NF // DA$交$AB$于点$F$，连接$EF$。

因为$BC // AD$，所以$ME // NF$，所以$M$，$E$，$F$，$N$四点共面。
因为$MN //$平面$AA_1B_1B$，$MN \subset$平面$MEFN$，平面$MEFN \cap$平面$AA_1B_1B = EF$，所以$MN // EF$，所以四边形$MEFN$为平行四边形，所以$ME = NF$。
因为$\frac{B_1M}{B_1C}=\frac{ME}{BC}=\frac{BN}{BD}=\frac{NF}{AD}$，$BC = AD$，所以$\frac{B_1M}{B_1C}=\frac{BN}{BD}$。
又$B_1C = BD$，所以$BN = B_1M$。
因为$B_1C = \sqrt{2}BC = 3\sqrt{2}$，$CM = \sqrt{2}$，所以$B_1M = 2\sqrt{2}$，故$BN = 2\sqrt{2}$。

9. [天津第二南开学校 2025 高一期中]如图，在四棱锥 $ P - ABCD $ 中，底面 $ ABCD $ 是平行四边形，$ M,N $ 分别是 $ AB,PC $ 的中点。
（1）求证：$ MN // $ 平面 $ PAD $；
（2）在 $ DN $ 上取一点 $ G $（不与 $ D,N $ 重合），设过点 $ G $ 和 $ PA $ 的平面交平面 $ BDN $ 于 $ GH $，求证：$ PA // GH $。

答案：
9.[证明]
(1)取$PD$的中点$E$，连接$AE$，$NE$，如图①所示。
　　　　　
因为$E$，$N$分别是$PD$，$PC$的中点，所以在$\triangle PCD$中，$EN // CD$，且$EN = \frac{1}{2}CD$。因为底面$ABCD$是平行四边形，所以$CD // AB$，且$CD = AB$，所以$EN // AB$且$EN = \frac{1}{2}AB$。
又$M$是$AB$的中点，所以$EN // AM$且$EN = AM$，所以四边形$ENMA$为平行四边形，所以$MN // AE$。
又$AE \subset$平面$PAD$，$MN \not\subset$平面$PAD$，所以$MN //$平面$PAD$。
(2)连接$AC$，$BD$，且$AC \cap BD = O$，连接$NO$，如图②所示。
　　　　
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$O$是$AC$的中点。
又因为$N$是$PC$的中点，在$\triangle PAC$中，根据三角形中位线定理可得$NO // PA$。
因为$NO \subset$平面$BDN$，$PA$在平面$BDN$外，所以根据线面平行的判定定理，可得$PA //$平面$BDN$。
因为过点$G$和$PA$的平面交平面$BDN$于$GH$，且$PA //$平面$BDN$，$PA \subset$平面$PAG$，所以根据线面平行的性质定理可得$PA // GH$。
归纳总结：证明直线与直线平行常用的方法
(1)中位线；
(2)线段成比例；
(3)平行四边形；
(4)平行的传递性；
(5)线面平行的性质定理。

10. 教材变式 一木块如图所示，点 $ P $ 在平面 $ VAC $ 内，过点 $ P $ 将木块锯开，使截面平行于直线 $ VB $ 和 $ AC $，应该怎样画线？

答案：
10.[解]如图所示，过平面$VAC$内一点$P$作直线$DE // AC$，交$VA$于点$D$，交$VC$于点$E$，过点$D$作直线$DF // VB$，交$AB$于点$F$，过点$F$作直线$FG // AC$，交$BC$于点$G$，连接$EG$，则截面$DEGF$即为所求。
　　　　　
链接教材：本题是教材第144页第12题原题，是比较少见的操作性题目，操作步骤考查学生对知识的理解及综合应用。本题条件中有直线$VB$和$AC$平行于截面，但线面平行不能直接作出来，需要转化为线线平行，其中用到的理论知识是线面平行的性质定理。抓住性质定理中的剩余两个条件，寻找包含该直线的平面与原平面的交线，得到此交线与该直线平行，最后利用线线平行作图。

11. [安徽芜湖安徽师大附中 2025 高一期中]如图，在三棱柱 $ ABC - A_1B_1C_1 $ 中，$ E $ 是棱 $ CC_1 $ 上的一点，且 $ \frac{C_1E}{EC} = \frac{2}{3} $，$ D $ 是棱 $ BC $ 上一点。若 $ A_1B // $ 平面 $ ADE $，则 $ \frac{BD}{BC} $ 的值为$\frac{5}{8}$。

答案：
11.$\frac{5}{8}$　[解析]连接$A_1C$与$AE$相交于点$O$，连接$OD$。
因为$A_1B //$平面$ADE$，平面$A_1BC \cap$平面$ADE = OD$，$A_1B \subset$平面$A_1BC$，所以$A_1B // OD$，所以$\frac{CO}{A_1O}=\frac{DC}{BD}$。
因为$AA_1 // CE$，所以$\triangle A_1OA \sim \triangle COE$，所以$\frac{CO}{A_1O}=\frac{CE}{AA_1}=\frac{3}{5}$，则$\frac{DC}{BD}=\frac{3}{5}$，可得$\frac{BD}{BC}=\frac{5}{8}$。
　　　　　
答案及解析易错警示：本题易出现作辅助线构造辅助平面不当，无法由线面平行推出线线平行，从而出现猜想答案为$\frac{2}{3}$的错误。直线与平面平行的性质定理可以作为直线与直线平行的判定方法，对判定定理和性质定理要准确灵活地应用。

12. [辽宁省实验中学等五校 2025 高二期末]如图，在四面体 $ A - BCD $ 中，$ M $ 是 $ AD $ 的中点，$ P $ 是 $ BM $ 的中点，点 $ Q $ 在棱 $ AC $ 上，且 $ AQ = 3QC $。求证：$ PQ // $ 平面 $ BCD $。

答案：
12.[证明]如图，取$BD$的中点$O$，在$CD$上取点$F$，使得$DF = 3FC$，连接$OP$，$OF$，$FQ$。$\because AQ = 3QC$，$\therefore \frac{AQ}{QC}=\frac{DF}{FC}=3$，$\therefore QF // AD$，且$QF = \frac{1}{4}AD$。
　　　　　　
$\because O$，$P$分别为$BD$，$BM$的中点，$\therefore OP // AD$，且$OP = \frac{1}{2}DM$。
又$\because M$为$AD$的中点，$\therefore OP = \frac{1}{4}AD$。
$\therefore OP // QF$，且$OP = QF$，$\therefore$四边形$OPQF$是平行四边形，$\therefore PQ // OF$。
又$\because PQ \not\subset$平面$BCD$，$OF \subset$平面$BCD$，$\therefore PQ //$平面$BCD$。