《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

1. 下列说法：
①如果非零向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的方向相同或相反，那么$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$的方向必与$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$之一的方向相同；
②在$\triangle ABC$中，必有$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{0}$；
③若$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{0}$，则$A$，$B$，$C$为一个三角形的三个顶点；
④若$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$均为非零向量，则$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$与$|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$一定相等。
其中正确说法的个数为(B)

A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$

答案： 1.B 【解析】①错误，若$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=0$，其方向是任意的；②正确；③错误，A，B，C三点共线时也可满足；④错误，$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|\leq|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$.

2. [山东泰安 2025 高一期中]下列向量的运算结果不正确的是(C)

A.$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
B.$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$
C.$\overrightarrow{AB}-(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC})=\overrightarrow{BC}$
D.$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{0}$

答案： 2.C 【解析】由$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$，故A正确；$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$，故B正确；$\overrightarrow{AB}-(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC})=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$，故C错误；$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AD}=0$，故D正确。
故选C.

3. [安徽马鞍山二中 2025 高一期中]等腰三角形$ABC$中，$AB=AC$，$D$，$E$在边$BC$上，满足$BD=DE=EC$，则下列各式中正确的是(D)

A.$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AE}$
B.$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CE}$
C.$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$
D.$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$

答案：
3.D 【解析】对于A，如图，$\overrightarrow{AD}$与$\overrightarrow{AE}$方向不同，故A错误；

对于B，$\overrightarrow{BD}$与$\overrightarrow{CE}$方向相反，故B错误；对于C，因为D，E在边BC上，满足BD = DE = EC，
所以$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AE}$，由A项点悟：平行四边形法则的应用知$\overrightarrow{AD}$与$\overrightarrow{AE}$不相等，故C错误；
对于D，由图知，$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}+(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{EC})$，
因为$\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{EC}=0$，所以$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$，即D正确。故选D.

4. [广东东莞中学 2024 高一段考]已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}|=1$，$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\frac{1}{2}$，则$|\boldsymbol{b}|$的取值范围为(D)

A.$(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2})$
B.$[\frac{\sqrt{3}}{2},1]$
C.$[\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}]$
D.$[\frac{1}{2},\frac{3}{2}]$

答案： 4.D 【解析】由$\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}-(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$，
照板：联系已知条件和所求向量的模考虑对向量$\boldsymbol{b}$进行代换可得$|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})|\leq|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\frac{3}{2}$，当且仅当$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$反向共线时，等号成立；$|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})|\geq||\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}||=\frac{1}{2}$，当且仅当$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$同向共线时，等号成立。
所以$|\boldsymbol{b}|$的取值范围为$[\frac{1}{2},\frac{3}{2}]$.故选D.

5. [辽宁辽阳 2024 高一月考]在平行四边形$ABCD$中，$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}|=4$，且$\angle BAC=\angle CAD$，则平行四边形$ABCD$的面积为8。

答案：
5.8 【解析】在平行四边形ABCD中，$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$，
因为$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}|=4$，所以$|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{DB}|=4$，所以四边形ABCD为矩形。
又$\angle BAC=\angle CAD$，所以四边形ABCD为正方形，所以四边形ABCD的面积为$\frac{1}{2}×4×4=8$.

二级结论 下列平行四边形中有关向量的结论，在解题中可以直接使用。在$□ ABCD$中，记$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b}$。①对角线的平方和等于四边的平方和，即$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^2+|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|^2=2(|\boldsymbol{a}|^2+|\boldsymbol{b}|^2)$；②若$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$，则平行四边形ABCD为矩形。

6. 已知非零向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$，作$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$，则$\angle AOB=$30°。

答案：
6.$30°$ 【解析】构造如图所示的平行四边形OABC，$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$，则$\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$，又$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$，则$\triangle AOC$为正三角形，故$\angle COA=60°$，易知平行四边形OABC为菱形，故OB平分$\angle COA$，则$\angle AOB=30°$.

7. 在$\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=BC$，则下列哪几个等式是成立的？
(1)$|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}|=|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}|$；
(2)$|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}|$；
(3)$|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{BA}|=|\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AB}|$；
(4)$|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}|^{2}=|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|^{2}=|\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{CA}|^{2}$。

答案：
7.【解】如图，分别作AC，CB的平行线，交于点D，因为在$\triangle ABC$中，$AC\perp BC$，$AC = BC$，所以四边形ACBD是正方形。
(1)因为$\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CD}$，所以$|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}|=|\overrightarrow{BA}|$，$|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}|=|\overrightarrow{CD}|$，
因为$|\overrightarrow{BA}|=|\overrightarrow{CD}|$，所以$|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}|=|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}|$，故等式
(1)成立。
(2)因为$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}$，
所以$|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{CB}|$，$|\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{CA}|$，因为$|\overrightarrow{CB}|=|\overrightarrow{CA}|$，所以$|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}|$，故等式
(2)成立。
(3)因为$\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}$，
所以$|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{BA}|=|\overrightarrow{CB}|$，$|\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{CA}|$，因为$|\overrightarrow{CB}|=|\overrightarrow{CA}|$，所以$|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{BA}|=|\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AB}|$，故等式
(3)成立。
(4)因为$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$，
所以$|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}|=|\overrightarrow{CD}|$，$|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{CB}|$，$|\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{CA}|=|\overrightarrow{BC}|$，
因为$|\overrightarrow{CD}|\neq|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{BC}|$，所以$|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}|\neq|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{CA}|$，
所以$|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}|^2\neq|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|^2=|\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{CA}|^2$，故等式
(4)不成立。
综上，等式
(1)
(2)
(3)成立，等式
(4)不成立。

8. 已知某人在静水中游泳的速度的大小为$4\sqrt{3}\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$，河水的流速的大小为$4\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$，现此人在河中游泳。
(1)如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度的大小为多少？
(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度的大小为多少？
参考数据：$\tan35.26^{\circ}\approx\frac{\sqrt{2}}{2}$。

答案：
8.【解】
(1)如图①，用$\overrightarrow{OA}$表示河水的流速，$\overrightarrow{OB}$表示该人在静水中游泳的速度。以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则$\overrightarrow{OC}$为此人游泳的实际速度。
在Rt$\triangle$OAC中，$|\overrightarrow{OA}|=4$，$|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{OB}|=4\sqrt{3}$，所以$|\overrightarrow{OC}|=\sqrt{|\overrightarrow{OA}|^2+|\overrightarrow{AC}|^2}=8$，$\tan\angle AOC=\frac{|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{OA}|}=\sqrt{3}$，所以$\angle AOC=60°$.
故此人实际前进的速度的大小为$8km/h$，方向与水流方向的夹角为$60°$.
(2)如图②，用$\overrightarrow{O'A'}$表示河水的流速，$\overrightarrow{O'B'}$表示此人在静水中游泳的速度，以$\overrightarrow{O'A'}$，$\overrightarrow{O'B'}$为邻边作平行四边形$\mbox{O'A'C'B'}$，则$\overrightarrow{O'C'}$表示此人实际游泳的速度。
所以有$|\overrightarrow{O'C'}|=\sqrt{|\overrightarrow{O'B'}|^2-|\overrightarrow{O'A'}|^2}=4\sqrt{2}$，所以$\tan\angle B'O'C'=\frac{|\overrightarrow{B'C'}|}{|\overrightarrow{O'C'}|}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$\angle B'O'C'\approx35.26°$.
故此人应朝与水流方向成$125.26°$角的方向游，实际前进的速度的大小为$4\sqrt{2}km/h$.
　　

9. 已知非零向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}|=\sqrt{7}+1$，$|\boldsymbol{b}|=\sqrt{7}-1$，且$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=4$，则$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=$4。

答案：
9.4 【解析】如图所示，设$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$，则$|\overrightarrow{BA}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$.以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则$|\overrightarrow{OC}|=|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$.由于$(\sqrt{7}+1)^2+(\sqrt{7}-1)^2=4^2$，故$|\overrightarrow{OA}|^2+|\overrightarrow{OB}|^2=|\overrightarrow{BA}|^2$，所以$\triangle OAB$是直角三角形，$\angle AOB=90°$，从而$OA\perp OB$，所以平行四边形OACB是矩形。根据矩形的对角线相等得$|\overrightarrow{OC}|=|\overrightarrow{BA}|=4$，即$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=4$.

易错警示 不能利用向量加、减法的几何意义作图，并且不能根据线段长度之间的关系得到图形的几何性质是造成问题难解、错解的主要原因。