《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

1. [湖北武汉华中师大 一附中 2025 高一期中]下列命题中正确的是(D)

A.若直线 $ a $ 上有无数个点不在平面 $ \alpha $ 内，则 $ a // \alpha $
B.若直线 $ a // $ 平面 $ \alpha $，则直线 $ a $ 与平面 $ \alpha $ 内的任意一条直线都平行
C.若直线 $ a // $ 直线 $ b $，直线 $ b \subset $ 平面 $ \alpha $，则直线 $ a // $ 平面 $ \alpha $
D.若直线 $ a // $ 平面 $ \alpha $，则直线 $ a $ 与平面 $ \alpha $ 内的任意一条直线都没有公共点

答案： 1.D　[解析]对于A，当直线$a$与平面$\alpha$相交于点$P$时，除了点$P$外，直线$a$上的无数个点都不在平面$\alpha$内，所以A错误；对于B，当直线$a //$平面$\alpha$时，直线$a$与平面$\alpha$内的直线平行或异面，所以B错误；对于C，若直线$a //$直线$b$，直线$b \subset$平面$\alpha$，则直线$a //$平面$\alpha$或直线$a$在平面$\alpha$内，所以C错误；对于D，当直线$a //$平面$\alpha$时，直线$a$与平面$\alpha$无公共点，所以直线$a$与平面$\alpha$内的任意一条直线都没有公共点，所以D正确。故选D。

2. 在空间四边形 $ ABCD $ 中，$ E,F $ 分别为 $ AB,AD $ 上的点，且 $ AE:EB = AF:FD = 1:3 $，$ H,G $ 分别为 $ BC,CD $ 的中点，则(B)

A.$ BD // $ 平面 $ EFGH $ 且四边形 $ EFGH $ 为矩形
B.$ EF // $ 平面 $ BCD $ 且四边形 $ EFGH $ 为梯形
C.$ HG // $ 平面 $ ABD $ 且四边形 $ EFGH $ 为菱形
D.$ HE // $ 平面 $ ADC $ 且四边形 $ EFGH $ 为平行四边形

答案：
2.B　[解析]在平面$ABD$内，$\because \frac{AE}{EB} = \frac{AF}{FD} = 1:3$，$\therefore EF // BD$。又$BD \subset$平面$BCD$，$EF \not\subset$平面$BCD$，$\therefore EF //$平面$BCD$。又在平面$BCD$内，$\because H$，$G$分别是$BC$，$CD$的中点，$\therefore HG // BD$，$\therefore HG // EF$。
　　　　　
又$\frac{EF}{BD}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{4}$，$\frac{HG}{BD}=\frac{CH}{BC}=\frac{1}{2}$，$\therefore EF \neq HG$。$\therefore$在四边形$EFGH$中，$EF // HG$且$EF \neq HG$，$\therefore$四边形$EFGH$为梯形。故选B。

3. [山东淄博 2025 高一期中]在下列四个正方体中，$ A,B $ 为正方体的两个顶点，$ M,N,Q $ 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 $ AB $ 与平面 $ MNQ $ 不平行的是(A)

答案：
3.A　[解析]A选项：如图所示，连接$BC$，取$BC$的中点$O$，连接$QO$，由中位线性质可知$AB // OQ$，且$OQ \cap$平面$MNQ = Q$，则$OQ$与平面$MNQ$相交，即$AB$与平面$MNQ$相交，因此$AB$与平面$MNQ$不平行，A满足题意；
　　　　　
B选项：由正方体结构特征，易得$AB // MQ$，结合线面平行的判定定理，知B不满足题意；
C选项，由正方体结构特征，易得$AB // MQ$，结合线面平行的判定定理，知C不满足题意；
D选项，由正方体结构特征，易得$AB // NQ$，结合线面平行的判定定理，知D不满足题意。
故选A。

4. 如图，在透明塑料制成的长方体容器 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 内灌进一些水，将容器底面一边 $ BC $ 固定于地面上，再将容器倾斜(不考虑水流出)。随着倾斜度的不同，有下列四个说法：
① 水的部分始终呈棱柱形；
② 水面 $ EFGH $ 的面积不改变；
③ 棱 $ A_1D_1 $ 始终与水面 $ EFGH $ 平行；
④ 当 $ E \in AA_1 $ 时，$ AE + BF $ 是定值。
其中说法正确的是①③④。(填序号)

答案： 4.①③④　[解析]根据题意，可得$BC$固定时，在倾斜的过程中，始终有$AD // EH // FG // BC$，且平面$AEFB //$平面$DHGC$，故水的部分始终呈棱柱形，故①正确；
水面$EFGH$的面积是改变的，因为$EF$是变化的，而$EH$是不变的，所以水面$EFGH$的面积是改变的，故②错误；
因为$A_1D_1 // AD // EH$，$A_1D_1 \not\subset$水面$EFGH$，$EH \subset$水面$EFGH$，所以$A_1D_1 //$水面$EFGH$，故③正确；
当$E \in AA_1$时，因为水的体积是定值，棱柱$ABFE - DCGH$的高$AB$不变，所以底面$ABFE$的面积不变，又梯形$ABFE$的高$AB$不变，所以$AE + BF$是定值，故④正确。

5. [河北石家庄二中 2025 高一期中]如图，在正方体 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 中，棱长 $ AB = 2 $，$ M $ 为 $ DD_1 $ 的中点。
（1）求证：$ BD_1 // $ 平面 $ AMC $。
（2）设 $ E $ 为 $ BD_1 $ 上的动点，问在棱 $ CC_1 $ 上是否存在一点 $ N $，使得 $ EN // $ 平面 $ AMC $？若存在，说明 $ N $ 的位置并证明；若不存在，请说明理由。
（3）设三棱锥 $ D - MAC $ 的体积为 $ V_1 $，三棱锥 $ D_1 - B_1AC $ 的体积为 $ V_2 $，求 $ \frac{V_1}{V_2} $ 的值。

答案：
5.
(1)[证明]如图①，连接$DB$交$AC$于点$O$，则$O$为$BD$中点，连接$OM$，则$OM // BD_1$。
　　　　
又$OM \subset$平面$AMC$，$BD_1 \not\subset$平面$AMC$，所以$BD_1 //$平面$AMC$。
(2)[解]当$E$，$N$分别为$BD_1$，$CC_1$的中点时，满足题意。
证明：如图②，当$E$，$N$分别为$BD_1$，$CC_1$的中点时，连接$OE$，
　　　　　
则$OE // DD_1$，且$OE = \frac{1}{2}DD_1$，又$CN // DD_1$，$CN = \frac{1}{2}DD_1$，所以$OE // CN$，$OE = CN$，故四边形$OCNE$为平行四边形，所以$EN // OC$。
又$OC \subset$平面$AMC$，$EN \not\subset$平面$AMC$，所以$EN //$平面$AMC$。
(3)[解]$V_1 = V_{D - AMC} = V_{C - ADM} = \frac{1}{3}S_{\triangle ADM} × CD = \frac{1}{3} × \frac{1}{2}AD × DM × CD = \frac{2}{3}$，$V_2 = V_{正方体} - 4V_{B_1 - AA_1D_1} = 8 - 4 × \frac{1}{3} × \frac{1}{2} × 2^3 = \frac{8}{3}$，所以$\frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{4}$。
巧思：也可利用正四面体的体积公式$V = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3$（$a$为正四面体的棱长）来求解。
名师点拨：解决直线与平面平行问题的关键
(1)利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是设法在已知平面内找到一条与已知直线平行的直线。
(2)构造平行的常见形式：三角形的中位线、平行四边形、利用比例关系证明两直线平行等。