《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

1. [广东惠州五校2025高一联考]复数$z = - 7 - 6i$($i$是虚数单位)的虚部为(C)

A.$-7$
B.$6$
C.$-6$
D.$-6i$

答案： 1.C 【解析】根据复数的概念得，复数$z=-7-6i$的虚部为-6.故选C.

2. [山西部分重点中学2025高一期中]已知复数$z = 1 + mi(m \in \mathbf{R})$，且$\overline{z}(2 - i)$为纯虚数，则$m =$(D)

A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$

答案： 2.D 【解析】由题知,$z =1-mi$,则$\bar{z}(2 - i)=(1 - mi)(2 - i)=(2 - m)-(1 + 2m)i$.又$z(2 - i)$是纯虚数,则$2 - m = 0$且$1 + 2m \neq 0$,得$m = 2$.故选D.

3. 已知$z_{1}$，$z_{2}$为复数，则下列说法正确的是(B)

A.若$\vert z_{1}\vert = \vert z_{2}\vert$，则$z_{1} = z_{2}$
B.若$z_{1} = \overline{z_{1}}$，则$z_{1}$为实数
C.若$z_{2}^{2} ＞ 0$，则$z_{2}$为纯虚数
D.若$(z_{1} - 1)^{2} + (z_{2} - 1)^{2} = 0$，则$z_{1} = z_{2} = 1$

答案： 3.B 【解析】选项A，当$z_1 = 1,z_2 = i$时，$\vert z_1\vert=\vert z_2\vert$，显然$z_1\neq z_2$，A错误；
选项B，若$z_1=\bar{z_1}$，则$z_1$的虚部为0，即$z_1$为实数，B正确；
选项C，只有当$z_2$为非零实数时，$z_2^2＞0$才成立，C错误；
选项D，当$z_1 = i,z_2 = -i$时，$(z_1 - 1)^2+(z_2 - 1)^2=-2i + 2i = 0$也成立，D错误.故选B.

4. [河南省实验中学2024高一期中]$i + i^{2} + i^{3} + i^{4} + ·s + i^{2024} =$(A)

A.$0$
B.$i$
C.$1$
D.$-i$

答案： 4.A 【解析】因为$i^2=-1,i^3=-i,i^4=1,i^5=i,·s$，所以$i^n(n\in N^*)$具有周期性，周期为4.
又$i + i^2 + i^3 + i^4 = 0$，所以$i + i^2 + i^3 + i^4+·s+i^{2024}=506×(i + i^2 + i^3 + i^4)=0$.故选A.

5. [河南安阳一中2025高一期中]若复数$z$满足$z + 1 = 3\vert z\vert + \vert z\verti$，$i$为虚数单位，则$\vert z\vert =$(A)

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{9}$
D.$\frac{2}{9}$

答案： 5.A 【解析】设$z = a + bi(a,b\in R)$，则$a + 1 + bi = 3\sqrt{a^2 + b^2}+\sqrt{a^2 + b^2}i$，
即$\begin{cases}a + 1 = 3\sqrt{a^2 + b^2}\\b=\sqrt{a^2 + b^2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 0\\b=\frac{1}{3}\end{cases}$所以$z=\frac{1}{3}i,\vert z\vert=\frac{1}{3}$.故选A.

6. [上海华东师范大学第二附属中学2024高一质量检测]已知$z_{1}$，$z_{2} \in \mathbf{C}$，语句$\alpha$：$z_{1}$，$z_{2}$中至少有一个数是虚数，语句$\beta$：$z_{1} - z_{2}$为虚数，则$\alpha$是$\beta$的(C)

A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 6.C 【解析】若$z_1,z_2$皆是实数，则$z_1 - z_2$一定不是虚数，因此当$z_1 - z_2$是虚数时，则$z_1,z_2$中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当$z_1,z_2$中至少有一个数是虚数时，$z_1 - z_2$不一定是虚数，如$z_1 = z_2 = i$，即充分性不成立，故选C.

7. 已知复数$z = m - 3 + (m - 1)i(m \in \mathbf{Z})$在复平面内对应的点在第二象限，则$\left\vert \frac{1}{z}\right\vert =$(C)

A.$\sqrt{2}$
B.$2$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： 7.C 【解析】由题意得$\begin{cases}m - 3 ＜ 0\\m - 1 ＞ 0\end{cases}$，解得$1 ＜ m ＜3$.又$m\in Z$，$\therefore m = 2$.$\therefore z = -1 + i$，则$\frac{1}{z}=\frac{1}{-1 + i}=\frac{-1 - i}{(-1 + i)(-1 - i)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$，$\therefore\frac{1}{\vert z\vert}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.故选C.

8. [浙江杭州2025高一期中]已知复数$z = 1 + \sqrt{3}i$，$i$为虚数单位，则对于$t \in \mathbf{R}$，$\vert z + t·\overline{z}\vert$的最小值为(D)

A.$2$
B.$1$
C.$2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$

答案： 8.D 【解析】因为$z = 1+\sqrt{3}i$，所以$z = 1-\sqrt{3}i$，所以$z + t· z = 1+\sqrt{3}i + t(1-\sqrt{3}i)=1 + t+(\sqrt{3}-\sqrt{3}t)i$，
所以$\vert z + t· z\vert=\sqrt{(1 + t)^2+(\sqrt{3}-\sqrt{3}t)^2}=\sqrt{4t^2 - 4t + 4}=2\sqrt{(t-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}$，
所以当$t=\frac{1}{2}$时，$\vert z + t· z\vert$有最小值，最小值为$2\sqrt{\frac{3}{4}}=\sqrt{3}$.故选D.

9. [海南2025高一期中]在复平面内，复数$z_{1}$，$z_{2}$对应的向量分别为$\overrightarrow{OZ_{1}} = (- 1,2)$，$\overrightarrow{OZ_{2}} = (2,- 3)$，下列说法正确的是(BC)

A.$z_{1} + z_{2}$的实部与虚部相等
B.$\vert z_{1}\vert ＜ \vert z_{2}\vert$
C.向量$\overrightarrow{OZ_{2}} - \overrightarrow{OZ_{1}}$对应的复数为$3 - 5i$
D.若$z_{1} - z_{2} + \lambdai(\lambda \in \mathbf{R})$在复平面内对应的点位于第三象限，则$\lambda$的取值范围为$(- \infty,5)$

答案： 9.BC 【解析】复数$z_1,z_2$对应的向量分别为$\overrightarrow{OZ_1}=(-1,2),\overrightarrow{OZ_2}=(2,-3)$，
则$z_1 + z_2$对应的向量$\overrightarrow{OZ_1}+\overrightarrow{OZ_2}=(1,-1)$，因此$z_1 + z_2$的实部为1，虚部为-1，实部与虚部不相等，A错误；
$\vert z_1\vert=\sqrt{(-1)^2 + 2^2}=\sqrt{5}$，$\vert z_2\vert=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13}$，所以$\vert z_1\vert＜\vert z_2\vert$，B正确；
向量$\overrightarrow{OZ_2}-\overrightarrow{OZ_1}=(2,-3)-(-1,2)=(3,-5)$对应的复数为$3 - 5i$，C正确；
若$z_1 - z_2+\lambda i=-1 + 2i-2 + 3i+\lambda i=-3+(\lambda + 5)i$在复平面内对应的点$(-3,\lambda + 5)$位于第三象限，则$\lambda + 5＜0$，得$\lambda＜-5$，则$\lambda$的取值范
围为$(-\infty,-5)$，D错误.故选BC.

10. [安徽芜湖安师大附中2024高一期中]下列命题正确的是(ABD)

A.若$z_{1}$，$z_{2}$是复数，则$\overline{z_{1} + z_{2}} = \overline{z_{1}} + \overline{z_{2}}$
B.若复数$z$的共轭复数为$\overline{z}$，则$z·\overline{z} = \vert z\vert^{2} = \vert\overline{z}\vert^{2}$
C.虚轴上的点对应的复数均为纯虚数
D.已知复数$z$满足$\vert z + 3i\vert = 1$($i$为虚数单位)，则$\vert z - 1 + 2i\vert$的最小值是$\sqrt{2} - 1$

答案： 10.ABD 【解析】对于A，设$z_1 = a + bi(a,b\in R),z_2 = c + di(c,d\in R)$，则$z_1 + z_2 = a + c-(b + d)i=(a - bi)+(c - di)=\bar{z_1}+\bar{z_2}$，故A
正确；
对于B，设$z = a + bi(a,b\in R)$，则$\bar{z}=a - bi$，则$z·\bar{z}=(a + bi)(a - bi)=a^2 + b^2=\vert z\vert^2=\vert\bar{z}\vert^2$，故B正确；
对于C，点$(0,0)$在虚轴上，但对应的复数不是纯虚数，故C错误；
对于D，设复数$z$在复平面内对应的点为$Z$，因为$\vert z + 3i\vert = 1$表示点$Z$到点$(0,-3)$的距离为1，则点$Z$在以$(0,-3)$为圆心，1为半径的圆上，
又$\vert z - 1 + 2i\vert$表示点$Z$到点$(1,-2)$的距离，又点$(0,-3)$到点$(1,-2)$的距离为$\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}$，所以$\vert z - 1 + 2i\vert$的最小值是$\sqrt{2}-1$，故D正确.
故选ABD.

11. [江西南昌2025高一期末]已知$z$是方程$z^{2} + 2z + 4 = 0$的一个虚数根，则下列说法中正确的是(AB)

A.$\vert z\vert = 2$
B.$\overline{z}$也是此方程的根
C.$z^{2} = \overline{z}$
D.$z^{10} = 2^{10}z$

答案： 11.AB 【解析】由$z^2 + 2z + 4 = 0$，得$z=\frac{-2\pm2\sqrt{3}i}{2}=-1\pm\sqrt{3}i$.
A.由$z=-1\pm\sqrt{3}i$，得$\vert z\vert=\sqrt{(-1)^2+(\pm\sqrt{3})^2}=2$，故A正确.
B.由题意得，方程$z^2 + 2z + 4 = 0$的两根互为共轭复数，
所以当$z$是方程$z^2 + 2z + 4 = 0$的一个虚数根时，$z$也是此方程的根，故B正确.
C.当$z=-1+\sqrt{3}i$时，$z^2=(-1+\sqrt{3}i)^2=-2 - 2\sqrt{3}i\neq -1-\sqrt{3}i = z$，故C错误.
D.当$z=-1+\sqrt{3}i$时，$z^2=-2 - 2\sqrt{3}i$，$z^4=(-2 - 2\sqrt{3}i)^2=-8 + 8\sqrt{3}i$，$z^8=(-8 + 8\sqrt{3}i)^2=-128 - 128\sqrt{3}i$，
所以$z^{10}=z^8· z^2=(-128 - 128\sqrt{3}i)(-2 - 2\sqrt{3}i)=-512 + 512\sqrt{3}i=512×(-1+\sqrt{3}i)=2^9z$，故D错误.故选AB.