《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

11. 现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件：
甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24；
乙球员：5个数据的中位数是29，平均数是26；
丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是9.6.
根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是(AD)

A.甲球员连续5场比赛得分都不低于24分
B.乙球员连续5场比赛得分都不低于24分
C.丙球员连续5场比赛得分都不低于24分
D.丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24

答案： 11.AD 【解析】设甲球员的5场篮球比赛得分按从小到大的顺序排列为$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$，则$x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq x_4 \leq x_5$，$x_3 = 26$，且24至少出现2次，故$x_1 = x_2 = 24$，A正确；设乙球员的5场篮球比赛得分按从小到大的顺序排列为$y_1,y_2,y_3,y_4,y_5$，则$y_1 \leq y_2 \leq y_3 \leq y_4 \leq y_5$，$y_3 = 29$，取$y_1 = 20,y_2 = 23,y_4 = 29,y_5 = 29$，可得其满足题中条件，但有2场得分低于24，B错误；设丙球员的5场篮球比赛得分按从小到大的顺序排列为$z_1,z_2,z_3,z_4,z_5$，由已知得$\frac{1}{5}[(z_1 - 26)^2+(z_2 - 26)^2+(z_3 - 26)^2+(z_4 - 26)^2+(z_5 - 26)^2]=9.6$，所以$(z_1 - 26)^2+(z_2 - 26)^2+(z_3 - 26)^2+(z_4 - 26)^2+(z_5 - 26)^2 = 48$，若$z_5 \geq 32$，则$(z_1 - 26)^2+(z_2 - 26)^2+(z_3 - 26)^2+(z_4 - 26)^2+(z_5 - 26)^2＞72$，矛盾，所以$z_5＜32$，所以$(z_1 - 26)^2+(z_2 - 26)^2+(z_3 - 26)^2+(z_4 - 26)^2 = 48 - (z_5 - 26)^2 = 12$，因为$z_1,z_2,z_3,z_4,z_5$的平均数为26，所以$z_1 + z_2 + z_3 + z_4 + z_5 = 26×5 = 130$，取$z_1 = 23,z_2 = 25,z_3 = 25,z_4 = 25$，满足题中条件，但有一场得分低于24分，C错误；因为$5×60\% = 3$，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数为$\frac{z_3 + z_4}{2}$，若$\frac{z_3 + z_4}{2} \leq 24$，则$\frac{z_1 + z_2 + z_3 + z_4}{2} \leq 24$，故$z_1 + z_2 + z_3 + z_4＜98$，矛盾，所以$\frac{z_3 + z_4}{2}＞24$，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24，D正确。（规律方法：利用数字特征反推数据情况时，若需说明一个命题是错的，只需举一个反例即可，往往考虑极端情况，另外想说明一个命题是对的，可以结合反证法说明，当反面成立有矛盾时，则正面成立）故选AD。

12. [北京房山区2024高一期末]为估计某森林内松鼠的数量，使用以下方法：先随机从森林中捕捉松鼠100只，在每只松鼠的尾巴上做上记号后放回森林，再随机从森林中捕捉50只. 若尾巴上有记号的松鼠共有5只，估计此森林内约有松鼠1000只.

答案： 12.1000 【解析】估计此森林内约有松鼠$100÷\frac{5}{50}=1000$（只）。

13. [四川成都树德中学2025高二月考]若一组样本数据$x_1,x_2,·s,x_n$的平均数为10，另一组样本数据$2x_1 + 4,2x_2 + 4,·s,2x_n + 4$的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数是17，方差是54.(答对一空给3分)

答案： 13.17 54 【解析】由题意可知，数据$x_1,x_2,·s,x_n$的平均数为10，所以$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_i = 10$，则$\sum_{i = 1}^{n}x_i = 10n$。所以数据$2x_1 + 4,2x_2 + 4,·s,2x_n + 4$的平均数为$\bar{x'}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(2x_i + 4)=\frac{2}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_i + 4 = 2×10 + 4 = 24$，方差为$s'^2=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}[(2x_i + 4)-(2×10 + 4)]^2=\frac{4}{n}\sum_{i = 1}^{n}(x_i - 10)^2=\frac{4}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_i^2-\frac{4}{n}×20\sum_{i = 1}^{n}x_i+\frac{4}{n}×n×10^2=\frac{4}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_i^2 - 400 = 8$，解得$\sum_{i = 1}^{n}x_i^2 = 102n$。将两组数据合并后，得到新数据$x_1,x_2,·s,x_n,2x_1 + 4,2x_2 + 4,·s,2x_n + 4$，则其平均数为$\bar{x''}=\frac{1}{2n}[\sum_{i = 1}^{n}x_i+\sum_{i = 1}^{n}(2x_i + 4)]=\frac{1}{2n}[\sum_{i = 1}^{n}x_i+\frac{3}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_i + 4]=\frac{1}{2n}(3×10n + 4)=\frac{1}{2}(3×10 + 4)=17$，方差为$s''^2=\frac{1}{2n}[\sum_{i = 1}^{n}(x_i - 17)^2+\sum_{i = 1}^{n}(2x_i + 4 - 17)^2]=\frac{1}{2n}(5\sum_{i = 1}^{n}x_i^2 - 86\sum_{i = 1}^{n}x_i + 458n)=\frac{1}{2n}(5×102n - 86×10n + 458n)=54$。

14. [江西南昌2024高一期末]支原体肺炎是学龄前儿童及青年人常见的一种肺炎，全年均可发病，以冬季多见，主要通过飞沫传播，潜伏期较长. 近期，某班级出现许多学生感染支原体肺炎的现象，为确保班级的正常教学，该班班主任统计了最近一周5天感染支原体肺炎的学生人数，已知这5天的人数互不相等，且5天数据的平均数为$\overline{x}$，若最后一天的数据不小心被墨水污染，前4天的数据的平均数为$\overline{y}$，若$\overline{x} = \overline{y}$，则前4天数据的第75百分位数大于(填“大于”“小于”或“等于”)这5天数据的第75百分位数.

答案： 14.大于 【解析】已知5天数据的平均数为$\bar{x}$，前4天的数据的平均数为$\bar{y}$，且$\bar{x}=\bar{y}$，则被污染的数据为$5\bar{x}-4\bar{y}=5\bar{x}-4\bar{x}=\bar{x}$。不妨设5天的数据由小到大为$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$，其中$x_3=\bar{x}$，因为$5×75\% = 3.75$，所以这5天数据的第75百分位数为$x_4$，污染后的数据关系为$x_1＜x_2＜x_3＜x_4＜x_5$，因为$4×75\% = 3$，所以前4天数据的第75百分位数为$\frac{x_3 + x_4}{2}$，显然$x_4＜\frac{x_4 + x_5}{2}$，所以$\frac{x_3 + x_4}{2}＜\frac{x_4 + x_5}{2}$，即前4天数据的第75百分位数小于这5天数据的第75百分位数，所以被污染的数据大于前4天数据的第75百分位数。

15. （本小题满分13分）[云南昆明2025高一月考]某校高中年级举办科技节活动，开设$A,B$两个会场，其中每个同学只能去一个会场，且25%的同学去$A$会场，剩下的同学去$B$会场. 已知$A,B$会场学生年级及比例情况如下表所示：

记该校高一、高二、高三年级学生所占总人数的比例分别为$x,y,z$，利用按比例分配的分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为$n$的样本.
（1）求$x:y:z$的值；
（2）若抽到的$B$会场的高二学生有150人，求$n$的值以及抽到的$A$会场高一、高二、高三年级的学生人数.

答案： 15.【解】
(1)设该校高一、高二、高三年级的人数分别为$a,b,c$，则去A会场的学生总数为$0.25(a + b + c)$，去B会场的学生总数为$0.75(a + b + c)$，则对应人数如表所示：
则$x:y:z = 0.425(a + b + c):0.475(a + b + c):0.1(a + b + c)=17:19:4$。
(2)依题意，$n×0.75×0.5 = 150$，解得$n = 400$，则抽到的A会场的学生总人数为$400×0.25 = 100$，所以高一年级学生人数为$100×50\% = 50$，高二年级学生人数为$100×40\% = 40$，高三年级学生人数为$100×10\% = 10$。