《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

1. [江苏十一校 2025 高一联考]已知向量 $ \boldsymbol{a}=(2,-2),\boldsymbol{b}=(-1,2) $，若 $ \boldsymbol{c}=(x,y) $，且满足 $ (\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c})\perp\boldsymbol{b} $，则 $ x - 2y = $(D)

A.2
B.4
C.5
D.6

答案： 1.D【解析】因为$a=(2,-2)$，$c=(x,y)$，所以$a - c=(2 - x,-2 - y)$．又$(a - c)\perp b$，则$(2 - x)×(-1)+(-2 - y)×2=0$，化简得$x - 2y=6$．故选D.

2. [河北邢台 2025 高一月考]已知 $ \overrightarrow{AC}=(-1,3) $，$ \overrightarrow{AB}=(3,1) $，若线段 $ BC $ 的一个三等分点为 $ M $，则 $ \overrightarrow{AM} $ 的坐标为(B)

A.$ \left(\dfrac{5}{3},\dfrac{5}{3}\right) $
B.$ \left(\dfrac{1}{3},\dfrac{7}{3}\right) $或$ \left(\dfrac{5}{3},\dfrac{5}{3}\right) $
C.$ \left(\dfrac{7}{3},\dfrac{1}{3}\right) $
D.$ \left(\dfrac{7}{3},\dfrac{1}{3}\right) $或$ \left(\dfrac{10}{3},\dfrac{7}{3}\right) $

答案： 2.B【解析】由线段$BC$的一个三等分点为$M$，得$2\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{MB}$或$\overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{MB}$，
若$2\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{MB}$，则$2\overrightarrow{AM}-2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM}$，则$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=(\frac{1}{3},\frac{7}{3})$；
若$\overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{MB}$，则$\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AM}$，则$\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=(\frac{5}{3},\frac{5}{3})$
故选B.

3. (原创)在 $ \triangle ABC $ 中，$ N $ 是 $ AC $ 边上一点，且 $ \overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{NC} $，$ P $ 是 $ BN $ 上一点. 若 $ \overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{9}\overrightarrow{AC} $，则实数 $ m = $(B)

A.$ \dfrac{1}{2} $
B.$ \dfrac{1}{3} $
C.$ \dfrac{1}{4} $
D.1

答案：
3.B【解析】如图，因为$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}$，所以$\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AN}$，则$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+\frac{2}{9}\overrightarrow{AC}=m\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AN}$．又因为$B$，$P$，$N$三点共线，所以$m+\frac{2}{3}=1$，故$m=\frac{1}{3}$．

4. (多选)[四川成都 2025 高一期末]在 $ \triangle ABC $ 中，已知 $ \angle BAC=\dfrac{\pi}{2} $，$ AB = AC $，$ D $ 是 $ AC $ 的中点，若 $ P $ 是 $ BC $ 上的一点，且满足 $ \overrightarrow{BP}=2\overrightarrow{PC} $，$ AP $ 与 $ BD $ 交于点 $ E $，则(ACD)

A.$ \overrightarrow{AP}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC} $
B.$ \overrightarrow{AP} $ 在 $ \overrightarrow{AB} $ 上的投影向量为$ \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} $
C.$ \overrightarrow{AP}·\overrightarrow{BD}=0 $
D.$ \overrightarrow{AE}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AP} $

答案： 4.ACD【解析】对于$A$，$\because\overrightarrow{BP}=2\overrightarrow{PC}$，$\therefore\overrightarrow{BP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$，$\therefore\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，故$A$正确；
对于$B$，$\because\angle BAC=\frac{\pi}{2}$，且$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，$\therefore\overrightarrow{AP}$在$\overrightarrow{AB}$上的投影向量为$\frac{\overrightarrow{AP}·\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|^{2}}·\overrightarrow{AB}=\frac{\frac{1}{3}|\overrightarrow{AB}|^{2}}{|\overrightarrow{AB}|^{2}}·\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，故$B$错误；
对于$C$，$\because D$是$AC$的中点，$\therefore\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，
则$\overrightarrow{AP}·\overrightarrow{BD}=(\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC})·(\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}^{2}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}^{2}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}$，又$\angle BAC=\frac{\pi}{2}$，$AB = AC$，$\therefore|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|$，$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=0$，即$\overrightarrow{AP}·\overrightarrow{BD}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}^{2}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}^{2}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=0$，故$C$正确；
对于$D$，设$\overrightarrow{AE}=\lambda\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\lambda\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\lambda\overrightarrow{AC}(0＜\lambda＜1)$，$\because B$，$E$，$D$三点共线，$\therefore$设$\overrightarrow{AE}=\mu\overrightarrow{AB}+(1 - \mu)\overrightarrow{AD}=\mu\overrightarrow{AB}+\frac{1 - \mu}{2}\overrightarrow{AC}$，则$\begin{cases}\frac{1}{3}\lambda=\mu\frac{2}{3}\lambda=\frac{1 - \mu}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}\lambda=\frac{3}{5}\\\mu=\frac{1}{5}\end{cases}$，$\therefore\overrightarrow{AE}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AP}$，故$D$正确．故选ACD.

5. [河南省实验中学 2025 高一月考]已知 $ \triangle ABC $ 中，$ |\overrightarrow{AB}| = 6 $，$ |\overrightarrow{AC}| = 6 $，且 $ |\lambda\overrightarrow{AB}+(1-\lambda)\overrightarrow{AC}|(\lambda\in\mathbf{R}) $ 的最小值为 $ 3\sqrt{2} $，若 $ P $ 为边 $ AB $ 上任意一点，则 $ \overrightarrow{PB}·\overrightarrow{PC} $ 的最小值是(D)

A.-12
B.-11
C.-10
D.-9

答案：
5.D【解析】设$\overrightarrow{AD}=\lambda\overrightarrow{AB}+(1 - \lambda)\overrightarrow{AC}$，则$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}-\lambda\overrightarrow{AC}$，得$\overrightarrow{CD}=\lambda\overrightarrow{CB}$，又$\overrightarrow{CD}$与$\overrightarrow{CB}$有共同端点$C$，所以$B$，$C$，$D$三点共线，
由$|\lambda\overrightarrow{AB}+(1 - \lambda)\overrightarrow{AC}|$的最小值为$3\sqrt{2}$可知，$\triangle ABC$的高$AD$为$3\sqrt{2}$，如图所示，

因为$|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AB}|=6$，所以$\triangle ABC$为等腰三角形．
在$Rt\triangle ADC$中，$AD^{2}+(\frac{1}{2}BC)^{2}=AC^{2}$，即$(3\sqrt{2})^{2}+\frac{1}{4}BC^{2}=6^{2}$，解得$BC=6\sqrt{2}$，
在$\triangle ABC$中，$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$，所以$\triangle ABC$是以$\angle BAC$为直角的等腰直角三角形．
以点$A$为坐标原点，$AB$，$AC$所在直线分别为$x,y$轴建立如图所示的平面直角坐标系，

设点$P(x,0)$，其中$0\leq x\leq6$，且$B(6,0)$，$C(0,6)$，则$\overrightarrow{PB}=(6 - x,0)$，$\overrightarrow{PC}=(-x,6)$，所以$\overrightarrow{PB}·\overrightarrow{PC}=-x(6 - x)=x^{2}-6x=(x - 3)^{2}-9\geq - 9$，当且仅当$x = 3$时，等号成立，即$\overrightarrow{PB}·\overrightarrow{PC}$取最小值$-9$．故选D.
归纳总结求向量$a$，$b$的数量积$a· b$的三种方法：
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即$a· b=|a||b|\cos\langle a,b\rangle$．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若$a=(x_{1},y_{1})$，$b=(x_{2},y_{2})$，则$a· b=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}$．当已知向量是非坐标形式，且图形适合建立平面直角坐标系时，可建立坐标系，运用坐标法求解．
(3)利用数量积的几何意义求解．

6. (多选)[重庆八中 2025 高一期末]已知点 $ P $ 是 $ \triangle ABC $ 所在平面内一点，且 $ \overrightarrow{AP}=2m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC} $，$ m,n\in\mathbf{R} $，则下列说法正确的是(BD)

A.若 $ m = n = \dfrac{1}{2} $，则点 $ P $ 是边 $ BC $ 的中点
B.若点 $ P $ 是边 $ BC $ 上靠近 $ B $ 点的三等分点，则 $ m = n = \dfrac{1}{3} $
C.若 $ 2m + n = \dfrac{1}{2} $，则 $ S_{\triangle PBC}=2S_{\triangle ABC} $
D.若点 $ P $ 在 $ BC $ 边的中线上，且 $ 2m + n = \dfrac{2}{3} $，则点 $ P $ 是 $ \triangle ABC $ 的重心

答案： 6.BD【解析】对于$A$，若$P$为边$BC$的中点，则$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，又$\overrightarrow{AP}=2m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$，则$m=\frac{1}{4}$，$n=\frac{1}{2}$，故$A$错误；
对于$B$，若点$P$是边$BC$上靠近点$B$的三等分点，则$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，
又$\overrightarrow{AP}=2m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$，则$2m=\frac{2}{3}$，$n=\frac{1}{3}$，即$m=n=\frac{1}{3}$，故$B$正确；
对于$C$，若$2m + n=\frac{1}{2}$，则$2\overrightarrow{AP}=2(2m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC})=4m\overrightarrow{AB}+2n\overrightarrow{AC}$，且$4m + 2n = 1$，
设$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AP}$，即$\overrightarrow{AM}=4m\overrightarrow{AB}+2n\overrightarrow{AC}$，则点$M$在$BC$边上，
因为点$P$为$AM$的中点，所以$S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$，故$C$错误；
对于$D$，若$2m + n=\frac{2}{3}$，所以$\frac{3}{2}\overrightarrow{AP}=\frac{3}{2}(2m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC})=3m\overrightarrow{AB}+\frac{3}{2}n\overrightarrow{AC}$，且$3m+\frac{3}{2}n = 1$，
设$\overrightarrow{AN}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AP}$，即$\overrightarrow{AN}=3m\overrightarrow{AB}+\frac{3}{2}n\overrightarrow{AC}$，则点$N$在$BC$上，又因为$P$在$BC$边的中线上，所以$AN$为中线，所以点$P$为$\triangle ABC$的重心，故$D$正确．故选BD.

7. [四川眉山 2025 高一期末]若 $ \boldsymbol{a}=(\lambda,4) $，$ \boldsymbol{b}=(-3,5) $，且 $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{b} $ 的夹角为钝角，则 $ \lambda $ 的取值范围是$(\frac{20}{3},+\infty)$.

答案： 7.$(\frac{20}{3},+\infty)$【解析】设$\theta$为$a$与$b$的夹角，则$\cos\theta=\frac{a· b}{|a||b|}=\frac{-3\lambda + 20}{\sqrt{\lambda^{2}+16}·\sqrt{34}}$，
因为$\theta$为钝角，所以$-3\lambda + 20＜0$，解得$\lambda＞\frac{20}{3}$
因为$a$与$b$不平行，所以$5\lambda + 12\neq0$，解得$\lambda\neq-\frac{12}{5}$，
综上可得，$\lambda$的取值范围是$(\frac{20}{3},+\infty)$．

8. 如图所示，$ A,B,C $ 是圆 $ O $ 上的三点，$ CO $ 的延长线与 $ BA $ 的延长线交于圆 $ O $ 外一点 $ D $. 若 $ \overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB} $，则 $ m + n $ 的取值范围是$(-1,0)$.

答案： 8.$(-1,0)$【解析】由$D$是圆$O$外一点，可设$\overrightarrow{BD}=\lambda\overrightarrow{BA}(\lambda＞1)$，则$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OB}+\lambda\overrightarrow{BA}=\lambda\overrightarrow{OA}+(1 - \lambda)\overrightarrow{OB}$．又因为$C$，$O$，$D$三点共线，所以令$\overrightarrow{OD}=-\mu\overrightarrow{OC}(\mu＞1)$，则$\overrightarrow{OC}=-\frac{\lambda}{\mu}\overrightarrow{OA}-\frac{1 - \lambda}{\mu}\overrightarrow{OB}(\lambda＞1,\mu＞1)$，所以$m=\frac{\lambda}{\mu}$，$n=-\frac{1 - \lambda}{\mu}$，则$m + n=\frac{\lambda}{\mu}-\frac{1 - \lambda}{\mu}=\frac{1}{\mu}\in(-1,0)$．

9. [广东深圳龙华外国语高级中学 2024 高一段考]已知 $ |\boldsymbol{u}| = 3 $，$ |\boldsymbol{v}| = 4 $，且 $ \boldsymbol{u}·\boldsymbol{v}=0 $. 若 $ |\boldsymbol{a}| = 1 $，则当 $ t\in[0,1] $ 时，$ |\boldsymbol{a}-t\boldsymbol{u}-(1 - t)\boldsymbol{v}| $ 的取值范围为$[\frac{7}{5},5]$.

答案：
9.$[\frac{7}{5},5]$【解析】
因为$u· v=0$，所以$u\perp v$，故可以建立平面直角坐标系，如图所示．又$|u|=3$，$|v|=4$，
设$C(3,0)$，$D(0,4)$，则可令$\overrightarrow{OC}=u$，$\overrightarrow{OD}=v$，在线段$CD$上取点$B$，
因为$B$，$C$，$D$三点共线，所以存在$t\in[0,1]$，使得$\overrightarrow{OB}=t\overrightarrow{OC}+(1 - t)\overrightarrow{OD}=tu+(1 - t)v$，

点悟：共线定理的应用，同时也和待求向量之间建立了联系
又$|a|=1$，取$\overrightarrow{OA}=a$，则点$A$在以点$O$为圆心，$1$为半径的圆上，
则$|a - tu-(1 - t)v|=|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{AB}|$．
因为$Rt\triangle OCD$的斜边$CD$上的高为$\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$，
所以当$OB\perp CD$，$A$为$OB$与圆$O$的交点且$A$在$O$，$B$之间时，$|\overrightarrow{AB}|$取得最小值，为$\frac{12}{5}-1=\frac{7}{5}$；
当点$B$与点$D$重合，点$A$坐标为$(0,-1)$时，$|\overrightarrow{AB}|$取得最大值，为$4 + 1 = 5$．
所以$\frac{7}{5}\leq|\overrightarrow{AB}|\leq5$．故$|a - tu-(1 - t)v|$的取值范围为$[\frac{7}{5},5]$．