《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

19. （本小题满分17分）[山东聊城一中2024高一阶段测试]已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）.
尺寸大于$M$的零件用于大型机器中，尺寸小于或等于$M$的零件用于小型机器中.
（1）若$M = 60$，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数.
（2）若$M\in(60,70]$，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器、小型机器各5000台的生产，每台机器仅使用一个该种型号的零件.
方案一：直接将一区生产车间生产的零件用于大型机器中，其中用了尺寸小于或等于$M$的零件的大型机器每台会使得工厂损失200元；直接将二区生产车间生产的零件用于小型机器中，其中用了尺寸大于$M$的零件的小型机器每台会使得工厂损失100元.
方案二：重新测量一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸，并正确匹配型号，重新测量的总费用为35万元.
请写出采用方案一，工厂损失费用的估计值$H(M)$（单位：万元）的表达式，并从工厂损失的角度考虑，选择合理的方案.

答案： 19.【解】
(1)一区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为$(0..020 + 0.024 + 0.020 + 0.020)×10 = 0.84$，则该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为$500×0.84 = 420$。二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为$(0.024 + 0.016)×10 = 0.4$，则该工厂二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为$500×0.4 = 200$。
(2)一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于M的频率为$0.004×10 + 0.012×10 + 0.02×(M - 60)=0.02M - 1.04$。二区生产车间生产的零件尺寸大于M的频率为$0.024×(70 - M)+0.016×10 = 1.84 - 0.024M$。故$H(M)=(0.02M - 1.04)×0.02×5000+(1.84 - 0.024M)×0.01×5000 = 0.8M - 12$。因为$M∈(60,70]$，所以$H(M)∈(36,44]$。又因为采用方案二重新测量的总费用为35万元，所以从工厂损失的角度考虑，应选择方案二。