《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

1. [山东青岛 2025 高一月考]如图，在$\triangle OCB$中，$A$是边$BC$的中点，$D$是边$OB$上靠近点$O$的三等分点，设$\overrightarrow{OA} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB} = \boldsymbol{b}$，则$\overrightarrow{DC} =$(C)

A.$2\boldsymbol{a} - \frac{5}{3}\boldsymbol{b}$
B.$2\boldsymbol{a} + \frac{5}{3}\boldsymbol{b}$
C.$2\boldsymbol{a} - \frac{4}{3}\boldsymbol{b}$
D.$-2\boldsymbol{a} + \frac{4}{3}\boldsymbol{b}$

答案： 1.C　[解析]
∵$A$是边$BC$的中点，
∴$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}$，
∴$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}+(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB})=2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$.
∵$D$是边$OB$上靠近点$O$的三等分点，
∴$\overrightarrow{DO}= - \frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OC}= - \frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+(2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB})=2\overrightarrow{OA}-\frac{4}{3}\overrightarrow{OB}$.
　又$\overrightarrow{OA}=a$，$\overrightarrow{OB}=b$，
∴$\overrightarrow{DC}=2a - \frac{4}{3}b$.
　故选C.

2. 在等腰梯形$ABCD$中，下列结论一定正确的是(D)


A.$\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{CB}$
B.$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}$
C.$\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}$
D.$|\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB}| = |\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}|$

答案：
2.D　[解析]对于A，因为向量$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{CB}$的方向不相同，所以向量$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{CB}$不相等，A错误；
　对于B，如图①，以$AB$，$AD$为邻边作平行四边形$ABED$，可得$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AE}$，所以$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\neq\overrightarrow{AC}$，B错误；
　　　　
　对于C，记$AB$的中点为$F$，则$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，以$AF$，$AD$为邻边作平行四边形$AFGD$，如图②，所以$\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AG}$，点$G$与点$C$不一定重合，所以C错误；
　　　　
　对于D，记$AB$的中点为$F$，由向量运算可得$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{DF}$，$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CF}$，所以$|\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}| = 2|\overrightarrow{DF}|$，$|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}| = 2|\overrightarrow{CF}|$.
　由已知得$AD = BC$，$AF = BF$，$\angle DAB = \angle CBA$，所以$\triangle DAF \cong \triangle CBF$，所以$DF = CF$，即$|\overrightarrow{DF}| = |\overrightarrow{CF}|$，所以$|\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}| = |\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}|$.
　黑板：利用平面几何知识得出线段的长度关系
　故选D.

3. [湖北孝感 2025 高一期末]已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$不共线，且$\boldsymbol{c} = \lambda\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{d} = \boldsymbol{a} + (2\lambda - 1)\boldsymbol{b}$，若$\boldsymbol{c}$与$\boldsymbol{d}$反向共线，则实数$\lambda$的值为(B)

A.$1$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-2$

答案： 3.B　[解析]由$c$与$d$反向共线，可得存在实数$k$使$c = kd(k\lt0)$，于是$\lambda a + b = ka + k(2\lambda - 1)b = ka + (2\lambda k - k)b$.
　因为$a$，$b$不共线，所以$\begin{cases}\lambda = k\\2\lambda k - k = 1\end{cases}$，整理得$2\lambda^2 - \lambda - 1 = 0$，解得$\lambda = 1$或$\lambda = - \frac{1}{2}$.
　又因为$k\lt0$，所以$\lambda\lt0$，故$\lambda = - \frac{1}{2}$.

4. [河南南阳 2025 高一期中]在$\triangle ABC$中，若$\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OA} + \lambda\left(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\right)$，$\lambda \in [0, +\infty)$，则点$Q$的轨迹必经过$\triangle ABC$的(A)

A.内心
B.外心
C.重心
D.垂心

答案：
4.A　[解析]因为$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$是与$\overrightarrow{AB}$同向的单位向量，$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$是与$\overrightarrow{AC}$同向的单位向量.
　　　　
　如图，设$\overrightarrow{AN}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$，$\overrightarrow{AM}=\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，则$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OA}+\lambda(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})$可化为$\overrightarrow{AQ}=\lambda(\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AM})$，且$AM = AN$.
　以$AM$，$AN$为邻边作平行四边形$AMEN$，则$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}$，且平行四边形$AMEN$为菱形，所以$AE$平分$\angle MAN$，所以$\overrightarrow{AQ}=\lambda\overrightarrow{AE}$.
　又$\overrightarrow{AQ}$与$\overrightarrow{AE}$有公共端点$A$，所以$A$，$E$，$Q$三点共线，所以$\overrightarrow{AQ}$在$\angle BAC$的平分线上，则点$Q$的轨迹必经过$\triangle ABC$的内心.故选A.

5. [浙江宁波五校 2024 高一期中联考]点$O$在$\triangle ABC$的内部，且满足$\overrightarrow{AO} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$，则$\triangle ABC$的面积与$\triangle AOB$的面积之比是(C)

A.$\frac{7}{2}$
B.$3$
C.$\frac{5}{2}$
D.$2$

答案：
5.C　[解析]因为$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$，所以$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{5}(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})+\frac{2}{5}(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})$，即$\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OC}=0$.
　取$AC$的中点为点$D$，如图，
　　　　
　则$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OD}$，即$4\overrightarrow{OD}= - \overrightarrow{OB}$，所以点$O$在$\triangle ABC$的中线$BD$上，且$OB=\frac{4}{5}BD$.
　过点$O$，$D$分别作边$AB$上的垂线，垂足分别为$M$，$N$，则$\frac{OM}{DN}=\frac{OB}{BD}=\frac{4}{5}$.
　所以$S_{\triangle AOB}=\frac{4}{5}S_{\triangle ABD}$，又$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$，所以$S_{\triangle AOB}=\frac{2}{5}S_{\triangle ABC}$，所以$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle AOB}}=\frac{5}{2}$.故选C.

6. (多选)[山东省实验中学 2024 高一段考]在$\triangle ABC$中，$\overrightarrow{CD} = \frac{2}{3}\overrightarrow{CA}$，$P$为线段$BD$上一点，且有$\overrightarrow{AP} = \lambda\overrightarrow{AB} + \mu\overrightarrow{AC}$，$\lambda$，$\mu \in (0, +\infty)$，则下列结论正确的是(BCD)

A.$\lambda + \mu = 1$
B.$\lambda + 3\mu = 1$
C.$\lambda\mu$的最大值为$\frac{1}{12}$
D.$\frac{1}{\lambda} + \frac{1}{\mu}$的最小值为$4 + 2\sqrt{3}$

答案：
6.BCD　[解析]如图，因为$\overrightarrow{CD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}$，$P$为线段$BD$上一点.
　　　　
　所以$\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}+3\mu\overrightarrow{AD}$.
　而点$P$在线段$BD$上，所以$\lambda + 3\mu = 1$，$\lambda\in(0,1)$，$3\mu\in(0,1)$，A错误，B正确；
　由基本不等式可得$\lambda + 3\mu\geq2\sqrt{3\lambda\mu}$，解得$\lambda\mu\leq\frac{1}{12}$，当且仅当$\lambda=\frac{1}{2}$，$\mu=\frac{1}{6}$时等号成立.
　巧思：也可根据$\lambda\mu=\mu(1 - 3\mu)$结合二次函数性质来判断
　$\frac{1}{\lambda}+\frac{1}{\mu}=(\frac{1}{\lambda}+\frac{1}{\mu})(\lambda + 3\mu)=4+\frac{3\mu}{\lambda}+\frac{\lambda}{\mu}\geq4 + 2\sqrt{3}$，当且仅当$\mu=\frac{3 - \sqrt{3}}{6}$，$\lambda=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$时等号成立，D正确.
　二级结论：已知$A$，$B$，$C$三点共线，$O$是平面内不在$A$，$B$，$C$所在直线上的任意一点，则有$\overrightarrow{OC}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}$，其中$\lambda + \mu = 1$.两者为充要条件，在求参数时若已知三点共线可直接用.
　故选BCD.

7. [广东惠州 2025 高一月考]设$\boldsymbol{e}_1$，$\boldsymbol{e}_2$是两个不共线的向量，已知$\overrightarrow{AB} = 2\boldsymbol{e}_1 - 6\boldsymbol{e}_2$，$\overrightarrow{CB} = \boldsymbol{e}_1 + 2\boldsymbol{e}_2$，$\overrightarrow{CD} = 2\boldsymbol{e}_1 - \boldsymbol{e}_2$。
(1) 求证：$A$，$B$，$D$三点共线；
(2) 若$\overrightarrow{BF} = 3\boldsymbol{e}_1 - k\boldsymbol{e}_2$，且$\overrightarrow{BF} // \overrightarrow{BD}$，求实数$k$的值。

答案： 7.
(1)[证明]因为$\overrightarrow{AB}=2e_1 - 6e_2$，$\overrightarrow{CB}=e_1 + 2e_2$，$\overrightarrow{CD}=2e_1 - e_2$，所以$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}=2e_1 - e_2 - (e_1 + 2e_2)=e_1 - 3e_2$.
　所以$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{BD}$，所以$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BD}$共线，又$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BD}$有公共点$B$，所以$A$，$B$，$D$三点共线.
(2)[解]因为$\overrightarrow{BF}=3e_1 - ke_2$，且$\overrightarrow{BF} // \overrightarrow{BD}$，所以$3e_1 - ke_2 = \lambda(e_1 - 3e_2)$，所以$\begin{cases}3 = \lambda\\- k = - 3\lambda\end{cases}$，所以$\begin{cases}\lambda = 3\\k = 9\end{cases}$，所以实数$k$的值为9.

8. 已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$不共线，若向量$\boldsymbol{a} + \lambda\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{b} + \lambda\boldsymbol{a}$的方向相反，则$\lambda$的值为(C)

A.$1$
B.$0$
C.$-1$
D.$\pm 1$

答案： 8.C　[解析]
∵向量$a + \lambda b$与$b + \lambda a$的方向相反，
∴$(a + \lambda b) // (b + \lambda a)$.由向量共线的充要条件可知，存在一个实数$m$，使得$a + \lambda b = m(b + \lambda a)$，即$(1 - m\lambda)a = (m - \lambda)b$.
∵$a$与$b$不共线，
∴$1 - m\lambda = m - \lambda = 0$，可得$m = \lambda$.
∴$1 - \lambda^2 = 0$，$\lambda = \pm1$.
　当$\lambda = 1$时，向量$a + b$与$b + a$是相等向量，其方向相同，不符合题意，故舍去.
∴$\lambda = - 1$.
　易错警示：解决有关向量数乘的问题时，注意参数的正负与向量方向的对应性.

9. [北京大学 2025 强基计划]已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$|2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}| = 1$，则$|3\boldsymbol{a} + 4\boldsymbol{b}|$的最大值为$\frac{13}{5}$。

答案： 9.$\frac{13}{5}$　[解析]设$3a + 4b = x(2a - b) + y(a + 2b)$，可得$\begin{cases}2x + y = 3\\- x + 2y = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = \frac{2}{5}\\y = \frac{11}{5}\end{cases}$，即$3a + 4b=\frac{2}{5}(2a - b)+\frac{11}{5}(a + 2b)$.
　由向量三角不等式可知$|3a + 4b|\leq\frac{2}{5}|2a - b|+\frac{11}{5}|a + 2b|=\frac{2}{5}+\frac{11}{5}=\frac{13}{5}$，当且仅当$2a - b$，$a + 2b$同向共线时，等号成立，因此$|3a + 4b|$的最大值为$\frac{13}{5}$.