《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

1. [广东广州 2025 高一期末]已知 $ z_1 = 3 + 2i,z_2 = 6 - 5i $，则 $ z_1 + z_2 $ 在复平面内对应的点位于(D)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 1.D 【解析】已知$z_1=3+2i,z_2=6 - 5i$，则$z_1+z_2=9 - 3i$，
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所以$z_1+z_2$在复平面内对应的点是$(9,-3)$，位于第四象限.故选D.

2. [河南许昌部分校 2025 高一期中]复数 $ (4 + i) - (1 + 5i) $ 的虚部为(A)

A.-4
B.4
C.-4i
D.4i

答案： 2.A 【解析】依题意，$(4+i)-(1 + 5i)=3 - 4i$，其虚部为$-4$.故选A.

3. [山东省实验中学 2024 高一月考]已知 $ a,b \in \mathbf{R},(a + 3i) + (-1 + bi) = 0 $，则(A)

A.$ a = 1,b = -3 $
B.$ a = -1,b = 3 $
C.$ a = -1,b = -3 $
D.$ a = 1,b = 3 $

答案： 3.A 【解析】由$(a + 3i)+(-1 + bi)=(a - 1)+(3 + b)i=0$，得$\begin{cases}a - 1=0,\\3 + b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=-3.\end{cases}$故选A.

4. 已知 $ |z| = 3 $，且 $ z + 3i $ 是纯虚数，则 $ z = $3i。

答案： 4.3i 【解析】设$z=a + bi(a,b\in\mathbf{R})$，因为$\vert z\vert=3$，所以$a^2 + b^2=9$.因为$z + 3i=a+(b + 3)i$为纯虚数，所以$\begin{cases}a=0,\\b + 3\neq0,\end{cases}$即$\begin{cases}a=0,\\b\neq - 3.\end{cases}$又$a^2 + b^2=9$，所以$\begin{cases}a=0,\\b=3,\end{cases}$所以$z=3i$.

5. 如图所示，在复平面内，复数 $ z_1,z_2 $ 所对应的点分别为 $ A,B $，则 $ |\overrightarrow{AB}| = $(C)


A.$ |z_1| - |z_2| $
B.$ |z_1| + |z_2| $
C.$ |z_1 - z_2| $
D.$ |z_1 + z_2| $

答案： 5.C 【解析】根据复数加、减法的几何意义及$\vert z_1+z_2\vert=\vert z_1-z_2\vert$，所以$\vert\overrightarrow{AB}\vert=\vert\overrightarrow{BA_1}\vert=\vert z_1-z_1\vert$（此处疑似表述有误，推测为$\vert\overrightarrow{BA}\vert=\vert z_1 - z_2\vert$），故选C.

6. $ A,B $ 分别是复数 $ z_1,z_2 $ 在复平面内对应的点，$ O $ 是坐标原点。若 $ |z_1 + z_2| = |z_1 - z_2| $，则 $ \triangle AOB $ 一定为(B)

A.等腰三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形

答案： 6.B 【解析】根据复数加、减法的几何意义及$\vert z_1+z_2\vert=\vert z_1-z_2\vert$，知以$OA,OB$为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故$\triangle AOB$为直角三角形.故选B.
归纳总结 在复平面内，设复数$z_1,z_2$对应的点分别为$A,B,z_1+z_2$对应的点为$C,O$为坐标原点.则有以下几个常见结论：
(1)四边形$OACB$为平行四边形；
(2)若$\vert z_1+z_2\vert=\vert z_1-z_2\vert$，则四边形$OACB$为矩形；
(3)若$\vert z_1\vert=\vert z_2\vert$，则四边形$OACB$为菱形；
(4)若$\vert z_1\vert=\vert z_2\vert$，且$\vert z_1+z_2\vert=\vert z_1-z_2\vert$，则四边形$OACB$为正方形；
(5)利用三角形三边的大小关系可得$\vert\vert z_1\vert-\vert z_2\vert\vert\leqslant\vert z_1+z_2\vert\leqslant\vert z_1\vert+\vert z_2\vert$.

7. [山西长治 2024 高一期中联考]已知 $ m \in \mathbf{R} $，复数 $ z_1 = (m^2 + m) + (m^2 - 1)i,z_2 = 2m + i $。
(1) 若 $ z_1 - z_2 $ 在复平面内对应的点位于第三象限，求 $ m $ 的取值范围；
(2) 设 $ O $ 为坐标原点，$ z_1,z_2 $ 在复平面内对应的点分别为 $ A,B $（不与 $ O $ 重合），若 $ \overrightarrow{OA} · \overrightarrow{OB} = 0 $，求 $ |z_1 - \overline{z_2}| $。

答案： 7.【解】
(1)依题意，$z_1 - z_2=(m^2 - m)+(m^2 - 2)i$，而$z_1 - z_2$在复平面内对应的点位于第三象限，
所以$\begin{cases}m^2 - m\lt0,\\m^2 - 2\lt0,\end{cases}$解得$0\lt m\lt1$，所以$m$的取值范围为$(0,1)$.
(2)依题意，$\overrightarrow{OA}=(m^2 + m,m^2 - 1),\overrightarrow{OB}=(2m,1)$，
由$\overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OB}=0$，得$2m(m^2 + m)+m^2 - 1=(2m + 1)^2(2m - 1)=0$，解得$m=\frac{1}{2}$或$m=-1$，
而$m=-1$时，$A(0,0)$为原点，不符合题意，因此$m=\frac{1}{2},z_1=\frac{3}{4}-\frac{3}{4}i,z_2=1+i,z_2=1 - i$，
所以$\vert z_1 - z_2\vert=\vert-\frac{1}{4}-\frac{7}{4}i\vert=\frac{\sqrt{2}}{4}$.

8. [广西南宁 2025 高一月考]已知复数 $ z $ 满足 $ |z + i| = |z - i| $，则 $ |z + 1 + 2i| $ 的最小值为(B)

A.1
B.2
C.$ \sqrt{3} $
D.$ \sqrt{5} $

答案： 8.B
思路导引 设复数$z$在复平面内对应的点为$Z$，由复数的几何意义可知点$Z$的轨迹为直线$y = 0$，则问题转化为直线$y = 0$上的动点$Z$到定点$(-1,-2)$距离的最小值，从而求解.
【解析】设复数$z$在复平面内对应的点为$Z$，因为复数$z$满足$\vert z+i\vert=\vert z-i\vert$，所以由复数的几何意义可知，点$Z$到点$(0,-1)$和$(0,1)$的距离相等，所以在复平面内点$Z$的轨迹为直线$y = 0$.
又$\vert z + 1+2i\vert$表示点$Z$到点$(-1,-2)$的距离，所以问题转化为直线$y = 0$上的动点$Z$到定点$(-1,-2)$距离的最小值，所以$\vert z+1 + 2i\vert$的最小值为$\vert-2\vert=2$，故选B.

9. [重庆南开中学 2025 高一期中]已知复数 $ z $ 满足 $ |z + 2 - i| = 2 $，则 $ |z + i| $ 的最大值为(C)

A.$ 2 + 2\sqrt{3} $
B.$ 2 + \sqrt{10} $
C.$ 2 + 2\sqrt{2} $
D.4

答案： 9.C 【解析】由$\vert z + 2-i\vert=\vert z-(-2+i)\vert=2$，得复数$z$在复平面内对应的点在以$(-2,1)$为圆心，$r = 2$为半径的圆上.$\vert z+i\vert=\vert z-(-i)\vert$表示复数$z$在复平面内对应的点到点$(0,-1)$的距离，且点$(-2,1)$到点$(0,-1)$的距离$d=\sqrt{(-2 - 0)^2+(1 + 1)^2}=2\sqrt{2}$，所以$\vert z+i\vert$的最大值为$d + r=2\sqrt{2}+2$.
黑板：圆外一点与圆上一点的距离的最大值为圆外一点到圆心的距离加上圆的半径故选C.
规律方法 利用复数的几何意义判别图形时，常见的方程如下：
(1)$\vert z\vert=r$，复数$z$在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心，$r$为半径的圆.
(2)$\vert z - z_1\vert=r$，复数$z$在复平面内对应的点的集合是以复数$z_1$在复平面内对应的点为圆心，$r$为半径的圆.
(3)$\vert z - z_1\vert=\vert z - z_2\vert$，复数$z$在复平面内对应的点到$z_1$和$z_2$在复平面内对应的点的距离相等，即复数$z$在复平面内对应点的集合是以复数$z_1,z_2$在复平面内的对应点$Z_1,Z_2$为端点的线段的垂直平分线.

10. [浙江宁波 2025 高一期中]已知 $ a,b \in \mathbf{R} $，复数 $ z_1 = a + i,z_2 = -b - i $，且 $ z_1 + z_2 = 0 $，若 $ z = a + bi $，则 $ |z - \sqrt{3}i| $ 的最小值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$。

答案： 10.$\frac{\sqrt{6}}{2}$ 【解析】由$z_1+z_2=0$可得$a+i-b-i=0$，即$a = b$，
因此$\vert z-\sqrt{3}i\vert=\vert a+(a-\sqrt{3})i\vert=\sqrt{a^2+(a-\sqrt{3})^2}=\sqrt{2a^2-2\sqrt{3}a + 3}=\sqrt{2(a-\frac{\sqrt{3}}{2})^2+\frac{3}{2}}\geqslant\frac{\sqrt{6}}{2}$，
当且仅当$a=\frac{\sqrt{3}}{2}$时，$\vert z-\sqrt{3}i\vert$取得最小值$\frac{\sqrt{6}}{2}$.

11. 已知集合 $ M = \{ z \in \mathbf{C}||z + 1| = 1 \},N = \{ z \in \mathbf{C}||z + i| = |z - i| \} $，则 $ M \cap N = $$\{0,-2\}$。

答案： 11.$\{0,-2\}$ 【解析】在复平面内，$\vert z + 1\vert=1$的几何意义是复数$z$对应的点的集合是以点$(-1,0)$为圆心，$1$为半径的圆.
$\vert z+i\vert=\vert z-i\vert$的几何意义是到点$A(0,1)$和点$B(0,-1)$距离相等的点的集合，是线段$AB$的垂直平分线，也就是实轴$M\cap N$的几何意义是实轴与圆的公共点对应的复数，故$z = 0$或$z=-2,\therefore M\cap N=\{0,-2\}$.
易错警示
(1)本题若混淆复数运算与实数运算，则会错误地将集合$M$和$N$化简为$M=\{\vert z\vert z + 1\vert=\pm1\},N=\{\vert z\vert z+i=\pm(z-i)\}$，从而造成解题错误.
(2)在复数运算中，若$z=a + bi,a,b\in\mathbf{R}$，则$\vert z\vert=\sqrt{a^2 + b^2}$.要注意与实数运算中的绝对值运算进行区分.