《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

1. (多选)[河北邯郸 2025 高一期中]用一个平面去截一个几何体，截面的形状是矩形，那么这个几何体可能是(BCD)

A.圆锥
B.圆柱
C.正四棱锥
D.正方体

答案： 1.BCD　[解析]用一个平面去截圆锥得到的截面可能为三角形、圆等，不可能出现矩形，故A不满足题意;
　用一个平行于底面的平面去截正四棱锥得到的截面为正方形(也是矩形)，故C满足题意;
　用一个平面去截圆柱、正方体，截面的形状都有可能是矩形，故B、D满足题意.故选BCD.
　规律方法圆柱的截面一般为圆或矩形，圆锥的截面一般为圆或等腰三角形，圆台的截面一般为圆或等腰梯形.多面体的截面一般为多边形.另外截面截内切球或者外接球时，区分与面相切和与棱相切

2. (多选)下列说法正确的是(ABD)

A.圆柱的侧面展开图是矩形
B.球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转$180^{\circ}$所形成的曲面
C.直角梯形绕它的一腰所在直线旋转一周形成的几何体是圆台
D.圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面都是圆面

答案： 2.ABD　[解析]对于A，圆柱的侧面展开图是矩形，所以A正确;对于B，球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面，所以B正确;对于
C，直角梯形只有在绕它垂直于底边的腰所在直线旋转一周形成的几何体才是圆台，所以C错误;对于D，圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面都是圆面，所以D 正确.故选ABD.

3. [天津一中 2024 高一期中]如图，四边形$ABCD$是直角梯形，其中$AB = 1$，$CD = 2$，$AD\perp DC$，$O$是$AD$的中点，以$AD$为直径的半圆$O$与$BC$相切于点$P$。以$AD$所在直线为旋转轴旋转一周，可以得到一个球和一个圆台。给出以下结论，其中正确结论的个数是(B)

①圆台的母线长为 3；
②球的半径为$\sqrt{2}$；
③将圆台的母线延长交$DA$的延长线于点$H$，则得到的圆锥的高为$3\sqrt{2}$；
④点$P$的轨迹的长度是$3\pi$。

A.1
B.2
C.3
D.4

答案：
3.B　[解析]由题知圆台上、下底面半径分别为r₁ = 1，r₂ = 2.设母线长为l，高为h，则球O的直径为h，因为BC与半圆O相切于点P，则BP = r₁ = 1，CP = r₂ = 2，所以l = BP + CP = 3，①正确.
过点B作BM⊥CD于点M，则BM = h，CM = r₂ - r₁ = 1，所以h = $\sqrt{l^2 - CM^2}$ = $\sqrt{3^2 - 1^2}$ = 2$\sqrt{2}$，即球O的半径为$\sqrt{2}$，②正确.
　因为AB//CD，易得$\frac{HA}{HD}$ = $\frac{AB}{CD}$ = $\frac{1}{2}$，则HD = 2HA = 2AD = 2h = 4$\sqrt{2}$，③错误
　过点P作PQ⊥BM于点Q，延长PQ与AD 交于点O₁，则P的轨迹是以O₁为圆心，O₁P为半径的圆
　作PN⊥CD于点N，得△BQP∽△PNC，则$\frac{BP}{PC}$ = $\frac{QP}{NC}$，即$\frac{1}{2}$ = $\frac{O_1P - 1}{2 - O_1P}$，解得O₁P = $\frac{4}{3}$.所以点P的轨迹的长度是2π×$\frac{4}{3}$ = $\frac{8\pi}{3}$，④错误.故选B.

4. 给出下列平面图形：①三角形；②四边形；③五边形；④六边形。则过正方体中心的截面图形可以是②④。(填序号)

答案： 4.②④　[解析]过正方体中心的平面截正方体所得的截面至少与正方体的四个面相交，所以不可能是三角形;截面为五边形时不过正方体的中心;过正方体各面上相邻两边的中点以及正方体的中心的截面图形为正六边形.故答案为②④.

5. [上海复旦大学附属复兴中学 2025 高一期末]如图，$A$，$B$是底面半径为$R$的圆柱侧面上两点，它们在底面上的射影分别为$A'$，$B'$，若$AA' = a$，$BB' = b$，$\overset{\frown}{A'B'} = \frac{\pi R}{3}$，则沿圆柱侧面从$A$到$B$的最短距离是$\sqrt{(a - b)^2 + (\frac{\pi R}{3})^2}$。

答案：
5.$\sqrt{(a - b)^2 + (\frac{\pi R}{3})^2}$　[解析]不妨设a＞b.该圆柱的侧面展开图如图所示，过A作A′B′的平行线，交B′B的延长线于M.已知AA′ = a，BB′ = b，则MB = a - b，$\widehat{AB}$ = $\frac{\pi R}{3}$ = AM，沿圆柱侧面从A到B的最短距离是AB.根据勾股定理可得AB = $\sqrt{AM^2 + MB^2}$ = $\sqrt{(a - b)^2 + (\frac{\pi R}{3})^2}$.

6. [浙江杭州二中 2025 高一月考]用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形。如图，圆锥$SO$底面圆的半径是$2\sqrt{3}$，轴截面$SAB$的面积是$4\sqrt{3}$。过圆锥$SO$的两条母线$SB$，$SC$作一个截面，则截面$SBC$面积的最大值是8。

答案： 6.8　[解析]由S_△SAB = $\frac{1}{2}$SO·AB = 2$\sqrt{3}$SO = 4$\sqrt{3}$，即SO = 2，故SA = SB = $\sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2}$ = 4.
　令∠ASB = 2θ且0＜θ＜$\frac{\pi}{2}$，则sinθ = $\frac{OB}{SB}$ = $\frac{2\sqrt{3}}{4}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，即θ = $\frac{\pi}{3}$，所以∠ASB = $\frac{2\pi}{3}$.
　由S_△SBC = $\frac{1}{2}$SB·SCsin∠BSC = 8sin∠BSC，而0＜∠BSC≤$\frac{2\pi}{3}$，
　所以当∠BSC = $\frac{\pi}{2}$时，截面SBC的面积最大，此时S_△SBC = 8.
　规律方法求过圆锥顶点的截面面积最大值时，要考虑轴截面顶角的度数:若轴截面顶角为钝角，由三角形面积公式S = $\frac{1}{2}$l²sinθ(l为圆锥的母线长，θ为过圆锥顶点的截面三角形的顶角)可知，当θ = $\frac{\pi}{2}$时截面面积最大;若轴截面顶角为直角或锐角，则当截面为轴截面时面积最大.

7. (多选)[湖南衡阳 2025 高一期中]给出下列命题，其中是真命题的有(BC)

A.在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
B.存在每个面都是直角三角形的四面体
C.半圆面绕其直径所在的直线旋转一周形成的几何体是球
D.球面上任意两点连成的线段都是球的直径

答案：
7.BC　[解析]对于A:圆台的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是母线，因为圆台所有母线的延长线交于一点，且所有母线长相等，故A错误;
　对于B:如图，四面体A - BCD的每个面都是直角三角形，故B正确;
　对于C:半圆面绕其直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球，故C正确;
　对于D:球面上两点与球心共线时，连成的线段才是球的直径，故D错误故选BC.

8. 下列说法正确的是(A)

A.圆锥的底面是圆面，侧面是曲面
B.用一张扇形的纸片可以卷成一个圆锥
C.一个物体上、下两个面是相等的圆面，那么它一定是一个圆柱
D.圆台的任意两条母线的延长线可能相交也可能不相交

答案： 8.A[解析]选项A是圆锥的性质，故A正确;对于B，一张扇形的纸片只能卷成一个无底面的圆锥，故B错误;对于C，根据圆柱的结构特征可知，若两个相等的圆面不平行，那么这个几何体不是圆柱，故C错误;对于D，圆台是由圆锥截得的，所以其任意两条母线延长后一定交于一点，故
D错误故选A.
　易错警示注意旋转体的结构特征:由封闭的面围成，解题时，易忽视圆柱的上、下两个面平行;此外，圆台的母线延长后交于一点.

9. [河南新乡 2024 高一期中]两个平行平面截一个半径为 4 的球，得到的截面面积分别为$10\pi$和$7\pi$，则这两个平面之间的距离为3 - $\sqrt{6}$或3 + $\sqrt{6}$。

答案： 9.3 - $\sqrt{6}$或3 + $\sqrt{6}$　[解析]设两个截面圆的半径分别为r₁，r₂，则πr₁² = 10π，πr₂² = 7π，解得r₁ = $\sqrt{10}$，r₂ = $\sqrt{7}$.设两个截面到球心的距离分别为d₁，d₂，则d₁ = $\sqrt{16 - 10}$ = $\sqrt{6}$，d₂ = $\sqrt{16 - 7}$ = 3，故这两个平面之间的距离为3 - $\sqrt{6}$或3 + $\sqrt{6}$.
　易错警示对于两个平行平面截球的问题，要分清两截面与球心的位置关系，即两个平行截面是在球心的同侧还是异侧，在已知条件不确定的情况下需要分类讨论.