《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

1. 复数的知识结构图如图所示，其中 1,2,3,4 四个方格中的内容分别为(C)


A.实数、纯虚数、无理数、有理数
B.实数、虚数、负实数、正实数
C.实数、虚数、无理数、有理数
D.实数、虚数、有理数、无理数

答案： 1.C 【解析】由复数与实数、虚数、有理数、无理数的包含关系及知识结构图知C正确.故选C.

2. [云南大理下关一中 2024 高一期中]设 $ z = -1 + 2i $，则 $ z $ 的实部与虚部之和为(C)

A.$-1$
B.$2$
C.$1$
D.$-2$

答案： 2.C 【解析】$z = -1 + 2i$的实部为-1，虚部为2，所以实部与虚部之和为1，故选C.

3. (多选)[安徽安庆 2025 高一月考]下列说法错误的是(ACD)

A.复数 $ a + bi $ 不是纯虚数
B.若 $ x = 1 $，则复数 $ z = (x^{2} - 1) + (x + 1)i $ 是纯虚数
C.若 $ (x^{2} - 4) + (x^{2} + 3x + 2)i $ 是纯虚数，则实数 $ x = \pm 2 $
D.若复数 $ z = a + bi $，则当且仅当 $ b \neq 0 $ 时，$ z $ 为虚数

答案： 3.ACD 【解析】对于A，当$a = 0$，$b \neq 0$，$b \in \mathbf{R}$时，复数$a + bi$是纯虚数，A错误；
对于B，当$x = 1$时，复数$z = 2i$是纯虚数，B正确；
对于C，若$(x^{2} - 4) + (x^{2} + 3x + 2)i$是纯虚数，则$\begin{cases}x^{2} - 4 = 0, \\x^{2} + 3x + 2 \neq 0,\end{cases}$解得$x = 2$，C错误；
对于D，复数$z = a + bi$，$a$，$b$未注明为实数，D错误.故选ACD.
规律方法 要判断一个复数是什么类型的数，首先要弄清楚复数的实部和虚部以及它们对复数分类的影响，然后结合定义进行求解.

4. 若 $ z = a + (a^{2} - 1)i(a \in \mathbf{R},i $ 为虚数单位)为实数，则 $ a $ 的值为(D)

A.$0$
B.$1$
C.$-1$
D.$1$ 或 $-1$

答案： 4.D 【解析】若$z = a + (a^{2} - 1)i(a \in \mathbf{R}$，$i$为虚数单位)为实数，则$a^{2} - 1 = 0$，所以$a = \pm 1$.故选D.

5. [安徽合肥 2025 高一期中]若复数 $ z = a + (3 + 2a - a^{2})i(a \in \mathbf{R}) $ 的虚部大于 $ 0 $，则实数 $ a $ 的取值范围是$(-1,3)$。

答案： 5.$(-1,3)$ 【解析】由复数$z$的虚部大于0，得$3 + 2a - a^{2} ＞ 0$，解得$-1 ＜ a ＜ 3$.

6. 教材变式[湖南部分校 2025 高一期中]已知复数 $ z = m^{2} - 2m + (m^{2} - 7m + 10)i,m \in \mathbf{R} $。
(1) 若 $ z $ 为实数，求 $ m $ 的值；
(2) 若 $ z $ 为虚数，求 $ m $ 的取值范围；
(3) 若 $ z $ 为纯虚数，求 $ z $ 的虚部。

答案： 6.【解】
(1)由题意得$m^{2} - 7m + 10 = (m - 2)· (m - 5) = 0$，解得$m = 2$或$m = 5$.
(2)由题意得$m^{2} - 7m + 10 \neq 0$，解得$m \neq 2$且$m \neq 5$，因此$m$的取值范围为$(-\infty,2) \cup (2,5) \cup (5,+\infty)$.
(3)由题意得$\begin{cases}m^{2} - 2m = 0, \\m^{2} - 7m + 10 \neq 0,\end{cases}$得$\begin{cases}m = 0或m = 2, \\m \neq 2且m \neq 5,\end{cases}$故$m = 0$，所以$z = 10i$，所
以$z$的虚部为10.
链接教材 本题是教材第69页例1的变式，考查复数的分类及有关概念.设复数$z = a + bi$，其中$a$，$b$为实数，根据$a$，$b$取值不同，可以将复数分为以下几类：
(1)当$b = 0$时，$z$为实数；
(2)当$b \neq 0$时，$z$为虚数；
(3)当$a = 0$且$b \neq 0$时，$z$为纯虚数.根据题意建立关系求解.

7. [吉林友好学校 2025 高一期中]已知 $ a,b $ 为实数，$ a + 3i = -1 + bi(i $ 为虚数单位)，则(B)

A.$ a = 1,b = -3 $
B.$ a = -1,b = 3 $
C.$ a = -1,b = -3 $
D.$ a = 1,b = 3 $

答案： 7.B 【解析】因为$a + 3i = -1 + bi$，所以由复数相等的定义可得$a = -1$，$b = 3$.故选B.

8. 下列命题中，真命题的个数是(A)
①若 $ x,y \in \mathbf{C} $，则 $ x + yi = 1 + i $ 的充要条件是 $ x = y = 1 $；
②若 $ a,b \in \mathbf{R} $ 且 $ a ＞ b $，则 $ a + i ＞ b + i $；
③若 $ x^{2} + y^{2} = 0 $，则 $ x = y = 0 $。

A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$

答案： 8.A 【解析】对于①，因为$x,y \in \mathbf{C}$，所以$x,y$不一定是$x + yi$的实部和虚部，故①是假命题；对于②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；对于③，如$1^{2} + i^{2} = 0$，但$1 \neq 0$，$i \neq 0$，故③是假命题.故选A.
避坑：$x,y$有可能为虚数
名师点拨 两个复数相等即为两复数实部与虚部分别相等，则需要准确找出两复数的实部和虚部才能求解.

9. 在下列结论中，正确的个数是(A)
①两个复数不能比较大小；
②若 $ z_{1} $ 和 $ z_{2} $ 都是虚数，且它们的虚部相等，则 $ z_{1} = z_{2} $；
③若 $ a,b $ 是两个相等的实数，则 $ (a - b) + (a + b)i $ 必为纯虚数。

A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$

答案： 9.A 【解析】对于①，两个复数，当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①错误.
对于②，设$z_{1} = a + bi(a,b \in \mathbf{R}$，且$b \neq 0)$，$z_{2} = c + di(c,d \in \mathbf{R}$，且$d \neq 0)$，因为$b = d$，所以$z_{2} = c + bi$.当$a = c$时，$z_{1} = z_{2}$.当$a \neq c$时，$z_{1} \neq z_{2}$，故②错误.
对于③，当$a = b \neq 0$时，$(a - b) + (a + b)i$是纯虚数；当$a = b = 0$时，$(a - b) + (a + b)i = 0$
避坑：容易忽略$a = b = 0$的情况
是实数，故③错误.故选A.