《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

1. [北京通州区2025高一期中]已知向量$\boldsymbol{a}=(1,-2)$，$\boldsymbol{b}=(4,1)$，则$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=$(A)

A.2
B.4
C.6
D.9

答案： 1.A[解析]因为$\boldsymbol{a}=(1,-2)$，$\boldsymbol{b}=(4,1)$，所以$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=1×4+(-2)×1=2$.故选A.

2. [河南安阳2025月考]已知向量$\boldsymbol{a}=(\lambda -1,-2)$，$\boldsymbol{b}=(1,\lambda +2)$，若$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=-1$，则$|\boldsymbol{b}|=$(B)

A.$2\sqrt{5}$
B.$\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{2}$

答案： 2.B[解析]因为$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=-1$，所以$(\lambda - 1)×1 - 2(\lambda + 2)= - 1$，解得$\lambda = - 4$，所以$\boldsymbol{b}=(1,-2)$，则$\vert\boldsymbol{b}\vert=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{5}$.故选B.

3. [湖北武汉2024高一质量检测]已知正三角形$ABC$的边长为4，$D$是$BC$边上的动点(含端点)，则$(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB})·(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC})$的取值范围是(B)

A.$[4,8]$
B.$[8,24]$
C.$[2,18]$
D.$[4,20]$

答案：
3.B[解析]以$BC$中点为原点，$BC$所在直线为$x$轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
点悟：借助等边三角形的特殊性建立坐标系，根据向量运算的坐标表示解题
则$B(-2,0)$，$C(2,0)$，$A(0,2\sqrt{3})$，
设$D(x,0)$，$-2\leqslant x\leqslant2$，
则$\overrightarrow{DA}=(-x,2\sqrt{3})$，$\overrightarrow{DB}=(-2 - x,0)$，$\overrightarrow{DC}=(2 - x,0)$，
所以$(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB})·(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC})=(-2 - 2x,2\sqrt{3})·(2 - 2x,2\sqrt{3})=4x^{2}+8$，
因为$-2\leqslant x\leqslant2$，所以$4x^{2}+8\in[8,24]$，
所以$(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB})·(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC})$的取值范围是$[8,24]$.故选B.

4. [山西运城2025高一月考]设$\overrightarrow{AB}=(1,1)$，$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{5}$，$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{BC}=0$，则$|\overrightarrow{BC}|=$(C)

A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.2

答案： 4.C[解析]由$\overrightarrow{AB}=(1,1)$可得$\vert\overrightarrow{AB}\vert=\sqrt{2}$，
由$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{BC}=0$可得$\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{BC}$，
在$\triangle ABC$中，由勾股定理可得$\vert\overrightarrow{AB}\vert^{2}+\vert\overrightarrow{BC}\vert^{2}=\vert\overrightarrow{AC}\vert^{2}$，解得$\vert\overrightarrow{BC}\vert=\sqrt{3}$.故选C.

5. [辽宁大连2025高一期末]已知向量$\boldsymbol{a}=(2,m)$，向量$\boldsymbol{b}=(m + 1,1)$，且$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$方向相反，若向量$\boldsymbol{c}=(2,1)$，则$\boldsymbol{a}$在$\boldsymbol{c}$上的投影向量为(D)

A.$(-\frac{4}{5},-\frac{2}{5})$
B.$(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$
C.$(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$
D.$(\frac{4}{5},\frac{2}{5})$

答案： 5.D[解析]由题意知向量$\boldsymbol{a}=(2,m)$，$\boldsymbol{b}=(m + 1,1)$共线，故$m(m + 1)-2×1=0$，解得$m = 1$或$m=-2$.又因为$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$方向相反，所以$m=-2$，所以$\boldsymbol{a}=(2,-2)$，又$\boldsymbol{c}=(2,1)$，则$\boldsymbol{a}$在$\boldsymbol{c}$上的投影向量是$\frac{\boldsymbol{a}·\boldsymbol{c}}{\vert\boldsymbol{c}\vert^{2}}·\boldsymbol{c}=\frac{2×2 - 2×1}{(\sqrt{2^{2}+1^{2}})^{2}}·(2,1)=(\frac{4}{5},\frac{2}{5})$，即$\boldsymbol{a}$在$\boldsymbol{c}$上的投影向量的坐标是$(\frac{4}{5},\frac{2}{5})$，故选D.
归纳总结投影向量的坐标表示
设$\boldsymbol{a}=(x_1,y_1)$，$\boldsymbol{b}=(x_2,y_2)$，$\boldsymbol{a}$在$\boldsymbol{b}$上投影向量为$(\vert\boldsymbol{a}\vert\cos\theta)\frac{\boldsymbol{b}}{\vert\boldsymbol{b}\vert}=\frac{\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}}{\vert\boldsymbol{b}\vert^{2}}·\boldsymbol{b}$.
将坐标代入可得$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=x_1x_2 + y_1y_2$，$\vert\boldsymbol{b}\vert^{2}=x_2^{2}+y_2^{2}$，所以$\boldsymbol{a}$在$\boldsymbol{b}$上的投影向量的坐标为$(\frac{(x_1x_2 + y_1y_2)x_2}{x_2^{2}+y_2^{2}},\frac{(x_1x_2 + y_1y_2)y_2}{x_2^{2}+y_2^{2}})$.

6. 如图，在平面四边形$ABCD$中，$\angle BAD=\angle BCD=90^{\circ}$，$AC=\sqrt{2}$，$\angle BAC=45^{\circ}$，则$|\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{CD}|$的最小值为$\sqrt{5}$。

答案：
6.$\sqrt{5}$[解析]以$A$为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设$B(b,0)$，$D(0,d)$.

因为$\angle BAC = 45^{\circ}$，且$AC = \sqrt{2}$，
所以$C(1,1)$，
故$\overrightarrow{CD}=(-1,d - 1)$，$\overrightarrow{CB}=(b - 1,-1)$，
故$\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{CD}=(b - 3,2d - 3)$.
因为$\angle BCD = 90^{\circ}$，所以$\overrightarrow{CD}·\overrightarrow{CB}=0$，
故$-1×(b - 1)-1×(d - 1)=0$，
即$b + d = 2$，
所以$\vert\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{CD}\vert=\sqrt{(b - 3)^{2}+(2d - 3)^{2}}$
$=\sqrt{(2 - d - 3)^{2}+(2d - 3)^{2}}$
$=\sqrt{5(d - 1)^{2}+5}$，
当$d = 1$时，$\vert\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{CD}\vert_{\min}=\sqrt{5}$.

7. 已知$\boldsymbol{a}=(2,1)$，$|\boldsymbol{b}|=2$，且$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，则$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a}$的夹角的余弦值为(B)

A.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{4}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{6}$

答案： 7.B[解析]由题意，$\vert\boldsymbol{a}\vert=\sqrt{4 + 1}=\sqrt{5}$，$\vert\boldsymbol{b}\vert=2$，又$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，所以$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=0$，
$\vert\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\vert=\sqrt{\boldsymbol{a}^{2}-2\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}}=\sqrt{5 - 0 + 4}=3$，
所以$\cos\langle\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}\rangle=\frac{(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})·\boldsymbol{a}}{\vert\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\vert\vert\boldsymbol{a}\vert}=\frac{\boldsymbol{a}^{2}-\boldsymbol{b}·\boldsymbol{a}}{\vert\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\vert\vert\boldsymbol{a}\vert}=\frac{5 - 0}{3×\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$.故选B.

8. [广东五校2025高一联考]已知向量$\boldsymbol{a}=(-3,4)$，$\boldsymbol{b}=(1,0)$，若向量$\boldsymbol{c}$满足$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle=\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle$，则$\boldsymbol{c}$可以是(A)

A.$\boldsymbol{a}+5\boldsymbol{b}$
B.$5\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$
C.$3\boldsymbol{a}+4\boldsymbol{b}$
D.$4\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}$

答案： 8.A[解析]设$\boldsymbol{c}=(x,y)$，又$\boldsymbol{a}=(-3,4)$，$\boldsymbol{b}=(1,0)$，
所以$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle=\frac{\boldsymbol{a}·\boldsymbol{c}}{\vert\boldsymbol{a}\vert\vert\boldsymbol{c}\vert}=\frac{-3x + 4y}{\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}\vert\boldsymbol{c}\vert}$，$\cos\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle=\frac{\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c}}{\vert\boldsymbol{b}\vert\vert\boldsymbol{c}\vert}=\frac{x}{\vert\boldsymbol{c}\vert}$.
因为$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle=\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle$，
所以$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle=\cos\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle$，即$\frac{-3x + 4y}{5\vert\boldsymbol{c}\vert}=\frac{x}{\vert\boldsymbol{c}\vert}$，所以$y = 2x$.
对于$A$，$\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+5\boldsymbol{b}=(-3,4)+5(1,0)=(2,4)$，满足$y = 2x$，故$A$符合题意；
对于$B$，$\boldsymbol{c}=5\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=5(-3,4)+(1,0)=(-14,20)$，不满足$y = 2x$，故$B$不符合题意；
对于$C$，$\boldsymbol{c}=3\boldsymbol{a}+4\boldsymbol{b}=3(-3,4)+4(1,0)=(-5,12)$，不满足$y = 2x$，故$C$不符合题意；
对于$D$，$\boldsymbol{c}=4\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}=4(-3,4)+3(1,0)=(-9,16)$，不满足$y = 2x$，故$D$不符合题意.
故选A.
归纳总结已知非零向量$\boldsymbol{a}=(x_1,y_1)$，$\boldsymbol{b}=(x_2,y_2)$，
(1)$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\Leftrightarrow\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=0\Leftrightarrow x_1x_2 + y_1y_2 = 0$.
(2)$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}\Leftrightarrow x_1y_2 - x_2y_1 = 0$.

9. 已知向量$\boldsymbol{a}=(2,-1)$，$\boldsymbol{b}=(1,7)$，则下列结论正确的是(D)

A.$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$
B.$\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$
C.$\boldsymbol{b}\perp(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$
D.$\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$

答案： 9.D[解析]因为$\boldsymbol{a}=(2,-1)$，$\boldsymbol{b}=(1,7)$，
所以$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=1×2 + 7×(-1)= - 5$，故A错误；
$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(2,-1)-(1,7)=(1,-8)$，$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(2,-1)+(1,7)=(3,6)$，
所以$\boldsymbol{a}·(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=2×1+(-1)×(-8)=10$，$\boldsymbol{b}·(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=1×1+(-8)×7= - 55$，故B，C错误；
$\boldsymbol{a}·(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=2×3+(-1)×6=0$，故$\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$，故D正确.故选D.

10. [湖北重点高中2025高一联考]已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$\boldsymbol{a}=(1,\sqrt{3})$，$\boldsymbol{b}=(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$，若$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\perp(\boldsymbol{a}-\lambda\boldsymbol{b})$，则实数$\lambda$的值为(B)

A.2
B.4
C.$2\sqrt{3}$
D.$\frac{9}{2}$

答案： 10.B[解析]由题意得$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(1-\frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3}+\frac{1}{2})$，$\boldsymbol{a}-\lambda\boldsymbol{b}=(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\lambda,\sqrt{3}-\frac{1}{2}\lambda)$，
若$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\perp(\boldsymbol{a}-\lambda\boldsymbol{b})$，则$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})·(\boldsymbol{a}-\lambda\boldsymbol{b})=(1-\frac{\sqrt{3}}{2})(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\lambda)+(\sqrt{3}+\frac{1}{2})(\sqrt{3}-\frac{1}{2}\lambda)=0$，解得$\lambda = 4$.故选B.
归纳总结已知非零向量$\boldsymbol{a}=(x_1,y_1)$，$\boldsymbol{b}=(x_2,y_2)$，
(1)$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\Leftrightarrow x_1x_2 + y_1y_2 = 0$.
(2)$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}\Leftrightarrow x_1y_2 - x_2y_1 = 0$.

11. (多选)[福建晋江2024高一期中]已知向量$\overrightarrow{AB}=(-5,1)$，$\overrightarrow{CD}=(m + 4,n)$，下列结论正确的是(ABD)

A.若$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$，则$m + 9n = 0$
B.若$\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{CD}$，则$n - 5m$为定值
C.若$\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{CD}$，则$m - 5n$为定值
D.若$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{CD}$互为相反向量，则$m$与$n$互为相反数

答案： 11.ABD[解析]因为$\overrightarrow{AB}=(-5,1)$，$\overrightarrow{CD}=(m + 4,n)$，
对于A，若$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$，则$\begin{cases}m + 4=-5\\n = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-9\\n = 1\end{cases}$，所以$m + 9n = 0$，A正确；
对于B，若$\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{CD}$，则$-5(m + 4)+n = 0$，即$n - 5m = 20$，B正确；
对于C，若$\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{CD}$，则$\frac{m + 4}{-5}=\frac{n}{1}$，即$m + 5n = - 4$，C错误；
对于D，若$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{CD}$互为相反向量，则$\begin{cases}m + 4 = 5\\n=-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 1\\n=-1\end{cases}$，即$m$与$n$互为相反数，D正确.
故选ABD.

12. 已知向量$\boldsymbol{a}=(2\cos\varphi,2\sin\varphi)$，$\varphi\in(\frac{\pi}{2},\pi)$，$\boldsymbol{b}=(0,-1)$，则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为(A)

A.$\frac{3\pi}{2}-\varphi$
B.$\frac{\pi}{2}+\varphi$
C.$\varphi-\frac{2\pi}{3}$
D.$\varphi$

答案： 12.A[解析]设$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\theta$，则$\cos\theta=\frac{\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}}{\vert\boldsymbol{a}\vert\vert\boldsymbol{b}\vert}=-\sin\varphi$.$\because\varphi\in(\frac{\pi}{2},\pi)$，$\theta\in[0,\pi]$，$\therefore-\sin\varphi=\cos(\frac{3\pi}{2}-\varphi)$，$\therefore\theta=\frac{3\pi}{2}-\varphi$.
易错警示本题在求向量夹角时，一方面要保证方程中三角函数同名，另一方面要保证所求的夹角在$[0,\pi]$内.