《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

1. [广东佛山 2024 高一月考]复数$(2 - i)(1 + 3i)$在复平面内对应的点所在的象限为(A)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 1.A 【解析】复数$(2-i)(1+3i)=5+5i$，所以复数$(2-i)(1+3i)$在复平面内对应的点$(5,5)$在第一象限.故选A.

2. [甘肃武威第五中学 2025 高一期中]设复数$z = a + 3i(a \in \mathbf{R}$且$a ＜ 0)$，若$z\overline{z} = 25$，则$a$的值为(B)

A.$-1$
B.$-4$
C.$-\dfrac{25}{3}$
D.$-16$

答案： 2.B 【解析】因为$z=a+3i$，所以$\overline{z}z=(a+3i)·(a-3i)=a^{2}+9=25$，解得$a=\pm4$，又$a＜0$，所以$a=-4$.故选B.

3. 已知$a,b \in \mathbf{R}$，复数$z = a + bi$满足$z(1 + i) = 2 - 2i$，则$a + b =$(B)

A.$-1$
B.$-2$
C.$-3$
D.$-4$

答案： 3.B 【解析】因为$z(1+i)=2-2i$，所以$z=\frac{2-2i}{1+i}=\frac{2(-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2(-2i)}{2}=-2i$，所以$a=0,b=-2$，所以$a+b=-2$.故选B.

4. 教材变式(多选)[湖南邵阳 2025 高一月考]已知$i$为虚数单位，复数$z = \dfrac{2i}{2 + i}$，以下说法正确的是(AD)

A.复数$z$的虚部是$\dfrac{4}{5}$
B.$|z| = 1$
C.复数$z$的共轭复数是$\overline{z} = -\dfrac{2}{5} + \dfrac{4}{5}i$
D.复数$z$在复平面内对应的点位于第一象限

答案： 4.AD 【解析】$z=\frac{2i}{2+i}=\frac{2i(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\frac{2+4i}{5}=\frac{2}{5}+\frac{4}{5}i$.
A.复数$z$的虚部是$\frac{4}{5}$，故A正确；
B.$|z|=\sqrt{(\frac{2}{5})^{2}+(\frac{4}{5})^{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，故B错误；
C.复数$z$的共轭复数$\overline{z}=\frac{2}{5}-\frac{4}{5}i$，故C错误；
D.复数$z$在复平面内对应的点是$(\frac{2}{5},\frac{4}{5})$，位于第一象限，故D正确.故选AD.
链接教材 本题是教材第79页例5的变式，考查复数的除法及复数的几何意义，也是考试常考点.对复数的除法，有$(a+bi)÷(c+di)=\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}=\frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}+\frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}i(c+di\neq0,a,b,c,d\in R)$.
复数除法的本质是“分母实数化”，做法是分子、分母同时乘分母的共轭复数，然后化简为$a+bi(a,b\in R)$的形式.

5. [山东枣庄 2025 高一期中]已知$z = 1 + i^{2025}$($i$为虚数单位)，则$\overline{z} =$(D)

A.$-1 + i$
B.$-1 - i$
C.$1 + i$
D.$1 - i$

答案： 5.D 【解析】因为$i^{1}=i,i^{2}=-1,i^{3}=-i,i^{4}=1,i^{5}=i$，所以$i^{n},n\in N^{*}$的周期为4，又因为$2025=506×4+1$，所以$i^{2025}=i$，故$z=1+i$，则$z=1-i$.故选D.

6. (多选)若复数$z$满足$(1 - i)z = i^{2027}$，$\overline{z}$为$z$的共轭复数，则(ABD)

A.$|z| = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B.$z · \overline{z} = \dfrac{1}{2}$
C.$z$在复平面内对应的点位于第二象限
D.$\dfrac{\overline{z}}{z}$是纯虚数

答案： 6.ABD 【解析】$i^{2027}=i^{506×4+3}=(i^{4})^{506}· i^{3}=$
黑板：$i^{2}=-1,i^{3}=-i$，
$i^{4}=1$
则$z=\frac{-i}{1-i}=\frac{-i(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{1-i}{2}$，则$|z|=\sqrt{(\frac{1}{4}+\frac{1}{4})}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，A正确；$\overline{z}=\frac{1+i}{2}$，则$z·\overline{z}=(\frac{1}{2})^{2}-(\frac{1}{2}i)^{2}=\frac{1}{2}$，B正确；$z$在复平面内对应的点为$(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$，位于第四象
限，C错误；
$\frac{\overline{z}}{z}=\frac{\frac{1+i}{2}}{\frac{1-i}{2}}=\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=i$，D正
确,故选ABD.

7. (多选)对于实系数一元二次方程$ax^{2} + bx + c = 0$($a,b,c \in \mathbf{R}$且$a \neq 0$)，在复数范围内的解是$x_{1}$，$x_{2}$，下列结论中正确的是(AC)

A.若$b^{2} - 4ac = 0$，则$x_{1},x_{2} \in \mathbf{R}$且$x_{1} = x_{2}$
B.若$b^{2} - 4ac ＜ 0$，则$x_{1} \notin \mathbf{R}$，$x_{2} \notin \mathbf{R}$且$\overline{x_{1}} = \overline{x_{2}}$
C.一定有$x_{1} + x_{2} = -\dfrac{b}{a}$，$x_{1}x_{2} = \dfrac{c}{a}$
D.一定有$(x_{1} - x_{2})^{2} = \dfrac{|b^{2} - 4ac|}{a^{2}}$

答案： 7.AC 【解析】对于A，当$b^{2}-4ac=0$时，$x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}\in R$，故A正确；对于B，当$b^{2}-4ac＜0$时，不妨设$x_{1}=\frac{-b-i\sqrt{-b^{2}+4ac}}{2a}$，$x_{2}=\frac{-b+i\sqrt{-b^{2}+4ac}}{2a}$，则$x_{1}\notin R,x_{2}\notin R$，且$\overline{x_{1}}\neq x_{2}$，故B错误；对于C，由一元二次方程根与系数的关系可得$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$，故C正确；对于D，$(x_{1}-x_{2})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{a^{2}}$，故D错误.故选AC.
规律方法 在复数范围内解实系数一元二次方程，求根公式和根与系数的关系仍然成立.对实系数的一元二次方程，可以用$\Delta=b^{2}-4ac$判别根的情况，但对复系数的一元二次方程不成立.

8. [重庆多校 2025 高一期中联考]若$1 + 2i$是关于$x$的方程$x^{2} + px + q = 0$的虚数根，且$p,q \in \mathbf{R}$，则(B)

A.$p = 2$，$q = 5$
B.$p = -2$，$q = 5$
C.$p = 2$，$q = -5$
D.$p = -2$，$q = -5$

答案： 8.B 【解析】因为实系数一元二次方程的两个虚数根是共轭复数，所以可知1+2i和1-2i是方程$x^{2}+px+q=0$的两个根，根据根与系数的关系可得$\begin{cases}1+2i+1-2i=-p,\1+2i)(1-2i)=q,\end{cases}$解得$\begin{cases}p=-2,\\q=5.\end{cases}$故选B.

9. 在复平面内，一个正方形的三个顶点对应的复数分别为$\dfrac{3 + i}{1 - i}$，$-2 + i$，$0$，则第四个顶点对应的复数为-1+3i。

答案： 9.$-1+3i$【解析】$\frac{3+i}{(1-i)(1+i)}=\frac{3+i(3+i)(1+i)}{1-i^{2}}=\frac{2+4i}{2}=1+2i$.
设复数$z_{1}=1+2i,z_{2}=-2+i,z_{3}=0$，它们在复平面内对应的点分别是$A,B,C$.
$\therefore A(1,2),B(-2,1),C(0,0).\therefore BC=\sqrt{5},AC=\sqrt{5},AB=\sqrt{10}$，即$BC^{2}+AC^{2}=AB^{2},\therefore\angle BCA=90^{\circ}$.
设正方形$ACBD$的第四个顶点$D$在复平面内的坐标是$(x,y)$，
$\therefore\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB},\therefore(x-1,y-2)=(-2,1)$，
$\therefore x-1=-2,y-2=1,\therefore x=-1,y=3.\therefore$第四个顶点对应的复数为$-1+3i$.

10. [北京通州区 2025 高一期中]设复数$z = a + bi$（$a,b \in \mathbf{R}$）。
(1)若$z = i(2 + i)$，求$a$，$b$的值；
(2)若$z$与复数$z_{1} = 2 + i$互为共轭复数，求$z · z_{1}$的值；
(3)当$b \neq 0$时，若$z + \dfrac{2}{z} = t(t \in \mathbf{R})$，求$|z|$的值。

答案： 10.【解】
(1)因为$z=i(2+i)=-1+2i=a+bi(a,b\in R)$，所以$a=-1,b=2$.
(2)因为$z$与复数$z_{1}=2+i$互为共轭复数，所以$z=2-i$，故$z· z_{1}=(2-i)(2+i)=4+1=5$.
(3)因为$b\neq0,z+\frac{2}{z}=t(t\in R)$，
则$t=a+bi+\frac{2}{a+bi}=a+bi+\frac{2(a-bi)}{(a+bi)(a-bi)}=(a+\frac{2a}{a^{2}+b^{2}})+(b-\frac{2b}{a^{2}+b^{2}})i$，
所以$b-\frac{2b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{(a^{2}+b^{2}-2)b}{a^{2}+b^{2}}=0$，
又$b\neq0$，所以$a^{2}+b^{2}=2$，所以$|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{2}$.