《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

1. [重庆七校 2024 高一期末联考]已知圆柱的底面直径和高均为 2,则该圆柱的侧面积为(B)

A.$3\pi$
B.$4\pi$
C.$5\pi$
D.$6\pi$

答案： 1.B【解析】由题意，圆柱的底面半径为1，母线长为2，故圆柱的侧面积为$2\pi×1×2=4\pi$。故选B。

2. [河北石家庄二中 2025 高一期中]已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等,圆柱的轴截面是一个正方形,则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是(B)

A.$\frac{\sqrt{5}}{4}$
B.$\frac{4\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{5}{16}$
D.$\frac{16}{5}$

答案： 2.B【解析】设圆柱和圆锥的底面半径为$r$，由圆柱的轴截面是一个正方形，得其高$h = 2r$，则圆柱的侧面积$S_1 = 2\pi r×2r = 4\pi r^2$，圆锥的侧面积$S_2 = \pi r\sqrt{(2r)^2 + r^2} = \sqrt{5}\pi r^2$，则$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi r^2}{\sqrt{5}\pi r^2} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$，故选B。
规律方法圆柱、圆锥、圆台侧面积的计算公式：$S_{圆柱侧} = \pi· 2r· l$，$S_{圆锥侧} = \pi· r· l$，$S_{圆台侧} = \pi· (r + r')· l$，其中$l$为母线长，圆柱、圆锥中$r$为底面半径，圆台中$r'$，$r$分别为上、下底面半径。

3. [湖北武汉六中 2024 高一月考]已知圆台 $O_1O_2$ 的母线长为 4,下底面圆的半径是上底面圆的半径的 3 倍,轴截面周长为 16,则该圆台的表面积为(C)

A.$24\pi$
B.$25\pi$
C.$26\pi$
D.$27\pi$

答案：
3.C【解析】如图，作出圆台的轴截面$AB - CD$，设上底面圆$O_1$的半径为$r$，则下底面圆$O_2$的半径为$3r$，故轴截面$ABCD$的周长为$16 = 4 + 4 + 2r + 6r$，解得$r = 1$，所以上、下底面圆的面积分别为$\pi$，$9\pi$，圆台侧面积$S= \pi(1 + 3)×4 = 16\pi$，所以圆台的表面积为$\pi + 9\pi + 16\pi = 26\pi$。故选C。

4. 若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 $S$,则圆柱的体积为(D)

A.$\frac{S}{2}\sqrt{S}$
B.$\frac{S}{2\pi}\sqrt{\pi S}$
C.$\frac{S}{4}\sqrt{S}$
D.$\frac{S}{4\pi}\sqrt{\pi S}$

答案： 4.D【解析】设圆柱的高为$2a$。因为轴截面为正方形，所以底面半径为$a$，则$S = 4\pi a^2$，解得$a = \frac{\sqrt{\pi S}}{2\pi}$，故可得圆柱体积$V = \pi a^2· 2a = 2\pi×\frac{S}{4\pi}×\frac{\sqrt{\pi S}}{2\pi} = \frac{S}{4\pi}×\sqrt{\pi S}$。故选D。

5. [江西九江 2025 高一期末]已知圆锥的表面积为 $9\pi$,它的侧面展开图是一个半圆,则此圆锥的体积为(A)

A.$3\pi$
B.$9\pi$
C.$\sqrt{3}\pi$
D.$\sqrt{3}$

答案： 5.A【解析】设圆锥的底面半径为$r$，母线长为$l$，高为$h$，则$\begin{cases}\pi r^2 + \pi rl = 9\pi\\\pi rl = 2\pi r\end{cases}$，解得$\begin{cases}r = \sqrt{3}\\l = 2\sqrt{3}\end{cases}$(负值舍去)，所以$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2} = 3$，所以圆锥的体积$V = \frac{1}{3}\pi r^2h = \frac{1}{3}\pi×(\sqrt{3})^2×3 = 3\pi$。故选A。
二级结论当圆锥的侧面展开图为半圆时，母线长是底面圆半径的$2$倍，即$l = 2r$；当圆锥的侧面展开图为$\frac{1}{4}$圆时，母线长是底面圆半径的$4$倍，即$l = 4r$。

6. (多选)[辽宁部分学校 2024 高一联考]已知某圆锥的高为 2,轴截面面积为 4,则(AD)

A.该圆锥的母线长为 $2\sqrt{2}$
B.该圆锥的体积为 $4\pi$
C.该圆锥的侧面积为 $8\sqrt{2}\pi$
D.与该圆锥同底等高的圆柱的体积为 $8\pi$

答案： 6.AD【解析】设该圆锥的底面半径为$r$，则轴截面面积为$\frac{1}{2}×2r×2 = 4$，解得$r = 2$，则该圆锥的母线长为$\sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$，A正确；该圆锥的体积为$\frac{1}{3}×\pi×2^2×2 = \frac{8\pi}{3}$，B错误；该圆锥的侧面积为$\pi×2×2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\pi$，C错误；与该圆锥同底等高的圆柱的体积为$\pi r^2×2 = 8\pi$，D正确。故选AD。
名师点拨解决圆锥问题时要抓住两个关键点：
(1)圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆周长；
(2)圆锥底面半径$r$，高$h$，母线$l$组成一个直角三角形，满足勾股定理。

7. (多选)[山东潍坊 2025 高一期末]折扇是我国古老文化的延续,在我国已有四千年左右的历史,它常以字画的形式体现我国的传统文化(如图①),图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分),若两个圆弧 $\overset{\frown}{DE},\overset{\frown}{AC}$ 所在圆的半径分别是 3 和 6,且 $\angle ABC = 120°$,则下列关于该圆台的说法正确的是(ABC)

A.高为 $2\sqrt{2}$
B.母线长为 3
C.表面积为 $14\pi$
D.体积为 $\frac{16\sqrt{2}}{3}\pi$

答案： 7.ABC【解析】设圆台的上、下底面半径分别为$r$，$R$，依题意，$2\pi r = \frac{2\pi}{3}×3$，解得$r = 1$，$2\pi R = \frac{2\pi}{3}×6$，解得$R = 2$，又圆台的母线长为$l = 6 - 3 = 3$，故圆台的高$h = \sqrt{l^2 - (R - r)^2} = \sqrt{9 - 1} = 2\sqrt{2}$，故A，B正确；圆台的侧面积$S_{圆台侧} = \pi×3×(1 + 2) = 9\pi$，所以圆台的表面积为$9\pi + \pi + \pi×2^2 = 14\pi$，故C正确；圆台的体积$V_{圆台} = \frac{1}{3}×2\sqrt{2}×\pi×(1^2 + 2^2 + 1×2) = \frac{14\sqrt{2}}{3}\pi$，故D错误。故选ABC。

8. 如图,将一个圆柱 4 等分切割,再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体,若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了 10,则原圆柱的侧面积是(A)


A.$10\pi$
B.$20\pi$
C.$100\pi$
D.$200\pi$

答案： 8.A【解析】设原圆柱的底面圆半径为$r$，高为$h$，则原圆柱的表面积为$2\pi r^2 + 2\pi rh$，新几何体的表面积为$2\pi r^2 + 2\pi rh + 2rh$，故$2rh = 10$，故原圆柱的侧面积为$2\pi rh = 10\pi$。故选A。

9. [山东聊城一中 2025 调研]图①为宋代的影青瓷花口盏及盏托,我们不妨将该花口盏及盏托看作是两个圆台与一个圆柱的组合体,三个部分的高相同均为 6 cm,上面的花口盏是底面直径分别为 8 cm 和 10 cm 的圆台,下面的盏托由底面直径为 8 cm 的圆柱和底面直径分别为 12 cm 和 8 cm 的圆台组合构成,示意图如图②所示,则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为(D)

A.$248\pi\ cm^3$
B.$274\pi\ cm^3$
C.$354\pi\ cm^3$
D.$370\pi\ cm^3$

答案： 9.D【解析】花口盏体积$V_1 = \frac{1}{3}\pi×6×(4^2 + 5^2 + 4×5) = 122\pi(cm^3)$，盏托体积$V_2 = \pi×4^2×6 + \frac{1}{3}\pi×6×(4^2 + 6^2 + 4×6) = 248\pi(cm^3)$，所以组合体的体积$V = V_1 + V_2 = 370\pi(cm^3)$。故选D。