《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

1. [福建福州 2025 高一期中]下列说法正确的是(D)

A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D.九棱柱有 9 条侧棱，9 个侧面，侧面均为平行四边形

答案：
1. D 【解析】有两个面平行，其余各面是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都相互平行的几何体叫棱柱，满足A选项或B选项描述的一种几何体如图所示，故A,B都不正确.

黑板：判断时除了根据定义，也可尝试能否仅用已知条件举出反例
各侧面都是正方形的四棱柱，上下底面可能是菱形，故C不正确.
根据棱柱的定义可知九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形，故D正确.故选D.
规律方法 判断棱柱的关键
(1)紧抓定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行；
(2)注意空间位置关系：相互平行的两个面不一定是上下相对，也可以左右或前后相对，只要满足这两个面平行即可.

2. (多选)[浙江宁波 2024 高一期中]下列命题中为假命题的是(AC)

A.长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
B.棱柱中至少有两个面的形状完全相同
C.有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱
D.正四棱柱是平行六面体

答案： 2. AC 【解析】对于选项A，当底面不是矩形的时候，直四棱柱非长方体，A为假命题；对于选项B，棱柱的两个底面全等，则棱柱中至少有两个面的形状完全相同，B为真命题；对于选项C，有两个侧面是矩形的四棱柱可以是两对称面为矩形的平行六面体，C为假命题；D选项，正四棱柱是平行六面体，D为真命题.故选AC.

3. [山西大学附属中学 2025 高一期中]如图所示，在三棱台 $ A'B'C'-ABC $ 中，截去三棱锥 $ A'-ABC $，则剩余部分是(B)


A.三棱锥
B.四棱锥
C.三棱柱
D.组合体

答案： 3. B 【解析】三棱台A'B'C'−ABC中，沿平面A'BC截去三棱锥A'−ABC，剩余的部分是以A'为顶点，四边形BCC'B'为底面的四棱锥A'−BCC'B'.故选B.

4. (多选)[广东肇庆 2024 高一期中]下列说法中正确的有(AD)

A.正四面体是正三棱锥
B.棱锥的侧面是全等的三角形
C.正三棱锥是正四面体
D.延长棱台所有侧棱，它们会交于一点

答案： 4. AD 【解析】A选项，正四面体的四个面都是等边三角形，是正三棱锥，A正确；
B选项，棱锥的侧面是三角形，不一定全等，B错误；
C选项，正三棱锥的侧棱长和底面边长不一定相等，C错误；
D选项，根据棱台的定义可知，延长棱台所有侧棱，它们会交于一点，D正确.故选AD.

5. 教材变式(多选)[河南郑州 2024 高一期中]下列说法中，不正确的是(AB)

A.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
B.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
C.棱锥至少有 6 条棱
D.若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正三棱锥

答案：
5. AB 【解析】对于A，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，如图①.只有当四个等腰梯形的腰延长后交于一点，这个六面体才是棱台，故A错误

对于B，有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，如图②，故B错误

对于C，三棱锥是棱数最少的棱锥，有6条棱，故C正确.
对于D，棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，若底面是正三角形，则此棱锥是正三棱锥，故D正确.故选AB.
链接教材 本题A选项是教材第106页习题8.1第10题的变式.判断几何体的类型时要对概念和性质把握完整，注意棱台不仅要满足两个面互相平行，其余各面都是梯形，还需要满足侧棱延长后交于一点.
特别注意 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定为棱锥，如第5题解析中图②.棱锥还需满足各侧面有且只有一个公共顶点.

6. 如图是一个正方体的表面展开图，则图中“九”在正方体中的对面是(B)


A.县
B.市
C.联
D.考

答案：
6. B 【解析】把正方体还原后如图所示，

则上面是九，下面是市，左面是县，右面是联，前面是考，后面是区，故选B.

7. [吉林长春吉大附中实验学校 2025 高一期中]如图所示，在直三棱柱 $ ABC - A_1B_1C_1 $ 中，$ AB = BC = 2 $，$ BB_1 = 2\sqrt{2} $，$ \angle ABC = 90° $，$ E $，$ F $ 分别是 $ AA_1 $，$ B_1C_1 $ 的中点，沿棱柱表面从 $ E $ 到 $ F $ 的最短路径长为(C)


A.$ \sqrt{11} $
B.$ \sqrt{7 + 2\sqrt{2}} $
C.3
D.$ \sqrt{7 + \sqrt{2}} $

答案：
7. C 【解析】若从E到F经过棱A₁B₁，则沿棱A₁B₁展开如图①，
悟：根据经过的不同棱考虑展开图过E作EG⊥BB₁于G，则EG=AB=2，FG=1 + √2，
故EF = √(2² + (1 + √2)²) = √(7 + 2√2).

若从E到F经过棱BB₁，则沿棱BB₁展开如图②，A₁E = √2，A₁F = 3，则EF = √((√2)² + 3²) = √11.

若从E到F经过棱CC₁，则沿棱CC₁展开如图③，因为AB = BC = 2，∠ABC = 90°，
所以AC = √(2² + 2²) = 2√2，
A₁E = √2，A₁F = 2√2 + 1，则EF = √(2 + (2√2 + 1)²) = √(11 + 4√2).

若从E到F经过棱A₁C₁，则沿棱A₁C₁展开如图④，连接AC₁，由题意，△A₁B₁C₁为等腰直角三角形，四边形ACC₁A₁为正方形，故△A₁AC₁为等腰直角三角形，故四边形A₁B₁C₁A为直角梯形.
又A₁B₁ = 2，AC₁ = √((2√2)² + (2√2)²) = 4，故EF = 1/2×(2 + 4) = 3.

又3 = √9 ＜ √(7 + 2√2) ＜ √11 ＜ √(11 + 4√2)，所以沿棱柱表面从E到F的最短路径长为3.故选C.
规律方法 求解多面体的表面两点间最短距离时要注意根据几何体的特征，沿着不同的棱将几何体展开后，根据展开图的特征确定最小值.

8. [安徽宿州示范高中 2024 高一期中]现有一块如图所示的三棱锥木料，其中 $ \angle AVB = \angle AVC = \angle BVC = 40° $，$ VA = VB = VC = 6 $，木工师傅打算过点 $ A $ 将木料切成两部分，则截面 $ \triangle AEF $ 周长的最小值为6√3。

答案：
8. 6√3 【解析】将三棱锥的侧面沿着VA展开，连接A'A，如图所示.

则VA = VA' = 6，∠AVA' = 120°，
由余弦定理可得，AA'² = 6² + 6² - 2×6×6cos120° = 108，则AA' = 6√3，
所以截面△AEF周长的最小值为6√3.
规律方法 解决几何体的表面上连接两点的折线长最短的问题，常转化为求其展开图中相应的点所连线段的长度，即用“化曲为直”的方法将空间问题转化为平面问题.