《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

1. [贵州贵阳 2025 高一月考]向量$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}=$(A)

A.$\overrightarrow{AC}$
B.$\overrightarrow{AB}$
C.$\overrightarrow{BC}$
D.$\overrightarrow{AM}$

答案： 1.A 【解析】根据平面向量加法的三角形法则，可得$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.故选A.

2. [重庆涪陵五中 2024 高一月考]如图，在平行四边形$ABCD$中，$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}=$(A)


A.$\boldsymbol{0}$
B.$\overrightarrow{OA}$
C.$\overrightarrow{AD}$
D.$\overrightarrow{AC}$

答案： 2.A 【解析】依题意,$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$,所以
$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}=0$.故选A.
向量运算的交换律同实数运算的交换律
名师点拨 三角形法则与平行四边形法则的记忆口诀：①三角形法则，作平移，首尾连，由起点指终点；②平行四边形法则，作平移，共起点，四边形对角线。三角形法则和平行四边形法则区别有两个：①三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半，当两个向量不共线时，两种加法法则在本质上是一致的。

3. [广东揭阳一中 2025 高一段考]对于任意一个四边形$ABCD$，下列式子不能化简为$\overrightarrow{BC}$的有(C)

A.$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$
B.$\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}$
C.$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}$
D.$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}$

答案： 3.C 【解析】对于A,$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BC}$;
对于B,$\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$;
对于C,$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}$;
对于D,$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BC}$.
故选C.

4. [四川成都树德中学 2024 高一月考]如图，向量$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{CD}=\boldsymbol{c}$，则向量$\overrightarrow{BD}$可以表示为(C)


A.$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$
B.$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$
C.$\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}$
D.$\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}$

答案： 4.C 【解析】依题意得,$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AB}$,即$\overrightarrow{BD}=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}$.故选C.

5. [湖北武汉华中师大 一附中 2025 高一期中]化简以下各式，结果不是零向量的为(B)

A.$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$
B.$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD}$
C.$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{AD}$
D.$\overrightarrow{NQ}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MP}$

答案： 5.B 【解析】对于A:$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=0$,故A正确；
对于B:$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB}$,故B错误；
对于C:$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AD}=0$,故C正确；
对于D:$\overrightarrow{NQ}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{NQ}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{NQ}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MN}=0$,故D正确.
故选B.

6. [广西柳州高中 2025 高一联考]在四边形$ABCD$中，$O$为任意一点，若$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}=\boldsymbol{0}$，则四边形$ABCD$一定为(D)

A.矩形
B.菱形
C.等腰梯形
D.平行四边形

答案： 6.D 【解析】因为$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}=0$,所以$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=0$,即$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$,
可知AB,CD两边平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形。
但没有足够条件判断四边形ABCD是否为矩形或菱形。故选D.

7. 已知$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{c}$，$\overrightarrow{OD}=\boldsymbol{d}$，$\overrightarrow{OE}=\boldsymbol{e}$，$\overrightarrow{OF}=\boldsymbol{f}$，试用$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$，$\boldsymbol{d}$，$\boldsymbol{e}$，$\boldsymbol{f}$表示下列各式：
(1)$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$；(2)$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CF}$；(3)$\overrightarrow{EF}-\overrightarrow{CF}$。

答案： 7.【解】
(1)$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA})-(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})=\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB}$化简得$\boldsymbol{d}-\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}=\boldsymbol{d}-\boldsymbol{b}$.
巧思：也可根据$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB}$化简
(2)$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CF}=(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})+(\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OC})=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{f}-\boldsymbol{c}$.
(3)$\overrightarrow{EF}-\overrightarrow{CF}=(\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OE})-(\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OC})=\boldsymbol{f}-\boldsymbol{e}-\boldsymbol{f}+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{c}-\boldsymbol{e}$.

8. 在$\triangle ABC$中，若$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|$，则$\triangle ABC$的形状为(A)

A.等边三角形
B.等腰(非等边)三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形

答案： 8.A 【解析】因为$|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{CB}|,|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|$,所以$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{CB}|$,所以$\triangle ABC$为等边三角形。故选A.

9. [陕西咸阳实验中学 2024 高一月考]设$\boldsymbol{a}$表示“向东走$6\mathrm{k}\mathrm{m}$”，$\boldsymbol{b}$表示“向南走$3\mathrm{k}\mathrm{m}$”，则$\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$所表示的意义为(C)

A.向东南走$6\sqrt{2}\mathrm{k}\mathrm{m}$
B.向东南走$3\sqrt{6}\mathrm{k}\mathrm{m}$
C.向西南走$6\sqrt{2}\mathrm{k}\mathrm{m}$
D.向西南走$3\sqrt{6}\mathrm{k}\mathrm{m}$

答案：
9.C 【解析】如图,分别作出$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{CB}=\boldsymbol{b}$,则利用向量加法的交换律可得$\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}$,故$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}$.
悟：$\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}$，$\boldsymbol{a}=\overrightarrow{OA}$，$-\boldsymbol{a}=\overrightarrow{AO}$，$\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}$
易知$\triangle OAB$为等腰直角三角形，故$\angle OAB=45°$，且$|\overrightarrow{AB}|=6\sqrt{2}$，
于是$\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$所表示的意义为向西南走$6\sqrt{2}km$.故选C.

10. 已知$|\overrightarrow{AB}|=6$，$|\overrightarrow{AC}|=3$，则$|\overrightarrow{BC}|$的取值范围是(C)

A.$[3,6]$
B.$(3,6)$
C.$[3,9]$
D.$(3,9)$

答案：
10.C 【解析】由题意得$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，所以$|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}|$，所以$||\overrightarrow{AC}|-|\overrightarrow{AB}||\leq|\overrightarrow{BC}|\leq|\overrightarrow{AC}|+|\overrightarrow{AB}|$，则$3\leq|\overrightarrow{BC}|\leq9$，故C正确。故选C.
规律方法 向量和与差的三角不等式：$||\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}||\leq|\boldsymbol{a}\pm\boldsymbol{b}|\leq|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$.

如图，可以借助三角形两边之差的绝对值小于第三边，两边之和大于第三边来记忆，取等号是共线的特殊情况。

11. [北京二中 2025 高一月考]若$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$是非零向量，则“$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|$”是“$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$”的(D)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案：
11.D 【解析】如图作$□ ABCD$，设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b}$，

由向量加法的平行四边形法则知：由$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|$可得$□ ABCD$是菱形，
因为菱形的对角线不一定相等，所以$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$不一定成立，即充分性不成立；
又由$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$可得$□ ABCD$是矩形，因为矩形的一组邻边不一定相等，所以$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|$也不一定成立，即必要性不成立。
故“$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|$”是“$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$”的既不充分也不必要条件。
故选D.