《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

1. 如图，在$\triangle ABC$中，$E$为边$AB$的中点，$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}$，则$\overrightarrow{DE}=$(D)


A.$-\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$
B.$\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$
C.$\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$
D.$\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$

答案： 1.D【解析】$\because E$为$AB$的中点，$BD=2DC$，$\therefore DE=DB+BE=\frac{2}{3}CB-\frac{1}{2}AB=\frac{2}{3}(AB - AC)-\frac{1}{2}AB=\frac{1}{6}AB-\frac{2}{3}AC$.故选D.

2. [四川德阳五中 2025 高一期末]已知向量$\overrightarrow{OA}=(1,m + 4)$，$\overrightarrow{OB}=(2,4)$，若$\overrightarrow{OA}//\overrightarrow{OB}$，则$|\overrightarrow{OA}|=$(C)

A.$5$
B.$3$
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{3}$

答案： 2.C【解析】因为向量$\overrightarrow{OA}=(1,m + 4)$，$\overrightarrow{OB}=(2,4)$，$\overrightarrow{OA}//\overrightarrow{OB}$，所以$2(m + 4)=1×4$，解得$m = - 2$，所以$\overrightarrow{OA}=(1,2)$，所以$\vert\overrightarrow{OA}\vert=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$.故选C.

3. [北京北师大附中 2024 高一期末]在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，$a\sin C + a\cos C - b - \sqrt{2}c = 0$，则$A=$(D)

A.$\frac{\pi}{4}$
B.$\frac{\pi}{3}$
C.$\frac{2\pi}{3}$
D.$\frac{3\pi}{4}$

答案： 3.D【解析】在$\triangle ABC$中，由$a\sin C + a\cos C - b - \sqrt{2}c = 0$及正弦定理，得$\sin A\sin C + \sin A\cos C - \sin B - \sqrt{2}\sin C = 0$，即$\sin A\sin C + \sin A\cos C - \sin(A + C) - \sqrt{2}\sin C = 0$，整理得$\sin A\sin C - \cos A\sin C - \sqrt{2}\sin C = 0$.因为$\sin C＞0$，所以$\sin A - \cos A = \sqrt{2}$，即$\sin(A - \frac{\pi}{4}) = 1$.由$0 ＜ A ＜ \pi$，得$-\frac{\pi}{4} ＜ A - \frac{\pi}{4} ＜ \frac{3\pi}{4}$，则$A - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$，即$A = \frac{3\pi}{4}$.故选D.

4. [广东广州二中 2025 高一期中]若不共线的两个向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{b}|$，则下列结论一定正确的是(C)

A.$|2\boldsymbol{a}| ＞ |2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|$
B.$|2\boldsymbol{a}| ＜ |2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|$
C.$|2\boldsymbol{b}| ＞ |\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}|$
D.$|2\boldsymbol{b}| ＜ |\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}|$

答案： 4.C【解析】如图，设$\overrightarrow{OA}=a$，$\overrightarrow{OB}=b$，则$\overrightarrow{BA}=a - b$.由已知$\vert a - b\vert=\vert b\vert$，得$\vert\overrightarrow{OB}\vert=\vert\overrightarrow{BA}\vert$，所以$\triangle OAB$为等腰三角形.设$C$为$OA$的中点，连接$BC$，则$BC\perp OA$，且$\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}a - b$，又由$\vert\overrightarrow{OB}\vert＞\vert\overrightarrow{BC}\vert$，得$\vert b\vert＞\vert\frac{1}{2}a - b\vert$，所以$\vert2b\vert＞\vert a - 2b\vert$.$\vert2a\vert$与$\vert2a - b\vert$的大小无法判断，故选C.

5. [江苏南京航空航天大学附属中学 2025 高一学业质量监测]在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，若$\cos A = \frac{b - c}{2c}$，则$\frac{a - c}{b}$的取值范围是(B)

A.$(-1,\frac{1}{2})$
B.$(\frac{1}{3},\frac{1}{2})$
C.$(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$
D.$(\frac{1}{2},\frac{2}{3})$

答案： 5.B【解析】在$\triangle ABC$中，由$\cos A=\frac{b - c}{2c}$及正弦定理得$\sin B - \sin C = 2\sin C\cos A$，则$\sin(C + A) - \sin C = 2\sin C\cos A$，整理得$\sin C = \sin A\cos C - \sin C\cos A = \sin(A - C)$.由$A,C\in(0,\pi)$，得$A - C\in(-\pi,\pi)$，则$C = A - C$或$C+(A - C)=\pi$，即$A = 2C$或$A = \pi$（舍去），因此$B = \pi - 3C$，$0 ＜ C ＜ \frac{\pi}{3}$，则$\frac{1}{2}＜\cos C＜1$，所以$\frac{a - c}{b}=\frac{\sin A - \sin C}{\sin B}=\frac{\sin2C - \sin C}{\sin3C}=\frac{2\sin C\cos C - \sin C}{\sin2C\cos C+\cos2C\sin C}=\frac{2\cos C - 1}{2\cos^{2}C + 2\cos^{2}C - 1}=\frac{1}{2\cos C + 1}\in(\frac{1}{3},\frac{1}{2})$，所以$\frac{a - c}{b}$的取值范围是$(\frac{1}{3},\frac{1}{2})$.故选B.

6. 若菱形$ABCD$的边长为$2$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，点$P$在边$BC$上(包含端点)，则$(\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB}) · \overrightarrow{PC}$的最小值为(C)

A.$-\sqrt{3}$
B.$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
C.$-\frac{9}{8}$
D.$0$

答案：
6.C【解析】如图，设$AC\cap BD = O$，因为四边形$ABCD$为菱形，所以$AC\perp BD$.以$O$为原点，$AC$，$DB$所在直线分别为$x$轴、$y$轴建立平面直角坐标系.易得$A(-1,0)$，$B(0,\sqrt{3})$，$C(1,0)$.设$P(x,y)$，$\overrightarrow{BP}=\lambda\overrightarrow{BC}$，其中$0\leq\lambda\leq1$，则$(x,y - \sqrt{3})=\lambda(1,-\sqrt{3})$，所以$P(\lambda,\sqrt{3}-\sqrt{3}\lambda)$.
$\overrightarrow{PA}=(-1 - \lambda,\sqrt{3}\lambda - \sqrt{3})$，$\overrightarrow{PB}=(-\lambda,\sqrt{3}\lambda - \sqrt{3})$，$\overrightarrow{PC}=(1 - \lambda,\sqrt{3}\lambda - \sqrt{3})$，则$(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB})·\overrightarrow{PC}=8\lambda^{2}-10\lambda + 2 = 8(\lambda - \frac{5}{8})^{2}-\frac{9}{8}$，所以，当$\lambda=\frac{5}{8}$时，$(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB})·\overrightarrow{PC}$取得最小值$-\frac{9}{8}$.故选C.

7. [河北保定 2025 高一月考]点$M$在$\triangle ABC$所在平面内，下列说法正确的是(B)

A.若$\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC} ＞ 0$，则$\triangle ABC$为锐角三角形
B.若点$M$是$\triangle ABC$的重心，则$\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{MC}$
C.若$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，则$\frac{S_{\triangle ABM}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{1}{3}$
D.若$\triangle ABC$为边长为$2$的正三角形，点$M$在线段$BC$上运动，则$\overrightarrow{AM} · (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = 3$

答案：
7.B【解析】当$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}＞0$时，可知$A$为锐角，但不能确定$B$，$C$是否为锐角，因此不能判断三角形形状，所以A错误.

如图①所示，当点$M$是$\triangle ABC$的重心时，因为三角形重心为三条中线的交点，所以$\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}[\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})]=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，同理可得$\overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{MC}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}-\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，所以$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{MC}$，所以B正确.

若$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，则$\frac{1}{3}\overrightarrow{AM}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$，得$\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MC}$，如图②所示，可知$\frac{BM}{BC}=\frac{2}{3}$，所以$\frac{S_{\triangle ABM}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{2}{3}$，所以C错误.

如图③所示，取$BC$的中点$D$，连接$AD$，当$\triangle ABC$为正三角形时，有$AD\perp BC$，所以点$M$在线段$BC$上运动时，$\overrightarrow{AM}$在$\overrightarrow{AD}$上的投影向量为$\overrightarrow{AD}$，已知正三角形$ABC$的边长为$2$，则高$AD=\sqrt{3}$，所以$\overrightarrow{AM}·(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AM}·2\overrightarrow{AD}=2×\sqrt{3}×\sqrt{3}=6$，所以D错误.故选B.

8. [江西南昌 2025 高一期中]如图①，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点$O$且三组对边分别平行，点$A$，$B$是“六芒星”(如图②)的两个顶点，动点$P$在“六芒星”上(包含内部以及边界)，若$\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$，则$x + y$的取值范围是(C)

A.$[-6,1]$
B.$[1,5]$
C.$[-5,5]$
D.$[5,9]$

答案：
8.C【解析】如图，连接$AB$并作$AB$的平行线组.设$M$在直线$AB$上，则有$\overrightarrow{OM}=x'\overrightarrow{OA}+y'\overrightarrow{OB}$，且$x'+y'=1$，设$\overrightarrow{OP}=\lambda\overrightarrow{OM}=\lambda(x'\overrightarrow{OA}+y'\overrightarrow{OB})=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，则$\lambda x'=x$，$\lambda y'=y$，所以$x + y=\lambda x'+\lambda y'=\lambda(x'+y')=\lambda$.由图可知，当点$P$在点$D$时，$\lambda$最大，此时$x + y$取得最大值，由题易知$\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}$，因此$x + y$的最大值为$5$.当点$P$在点$C$时，$\vert\lambda\vert$最大，即$\lambda$最小，此时$x + y$取得最小值，由对称性可知$\overrightarrow{OC}=-2\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OB}$，因此$x + y$的最小值为$-5$.故$x + y$的取值范围是$[-5,5]$.故选C.

二级结论等和线定理：如图，$l_1// l_2$，已知$\overrightarrow{OQ}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}(\lambda+\mu = 1)$，若$\overrightarrow{OP}=x'\overrightarrow{OA}+y'\overrightarrow{OB}$，且$x'+y'=k$，则$k=\frac{\vert\overrightarrow{OP}\vert}{\vert\overrightarrow{OQ}\vert}$

9. 设$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$是两个非零向量，若$\boldsymbol{b} \perp (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b})$，则下列结论正确的是(ABC)

A.$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{b}|^{2}$
B.$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}|$
C.$\boldsymbol{a}$在$\boldsymbol{b}$上的投影向量为$\boldsymbol{b}$
D.$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle = \frac{|\boldsymbol{a}|}{|\boldsymbol{b}|}$

答案： 9.ABC【解析】因为$b\perp(a - b)$，所以$b·(a - b)=b· a - b^{2}=0$，所以$a· b=b^{2}=\vert b\vert^{2}$，所以选项A正确；因为$a· b=\vert b\vert^{2}$，所以$\vert a\vert^{2}=\vert a - 2b\vert^{2}$，所以$\vert a\vert=\vert a - 2b\vert$，所以选项B正确；$a$在$b$上的投影向量为$\frac{\vert a\vert\cos\langle a,b\rangle}{\vert b\vert}· b=\frac{a· b}{\vert b\vert^{2}}· b = b$，所以选项C正确；由向量数量积的定义可知，$a· b=\vert a\vert\vert b\vert\cos\langle a,b\rangle=\vert b\vert^{2}$，所以$\cos\langle a,b\rangle=\frac{\vert b\vert}{\vert a\vert}$，所以选项D错误.故选ABC.