《2025年学霸高考黑题物理人教版》

(2017·江苏卷) 一台质谱仪的工作原理如图所示，大量的甲、乙两种离子飘入电压为 $ U_0 $ 的加速电场，其初速度几乎为 0，经加速后，通过宽为 $ L $ 的狭缝 $ MN $ 沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为 $ B $ 的匀强磁场中，最后打到照相底片上。已知甲、乙两种离子的电荷量均为 $ +q $，质量分别为 $ 2m $ 和 $ m $，图中虚线为经过狭缝左、右边界 $ M $、$ N $ 的甲种离子的运动轨迹，不考虑离子间的相互作用。
(1) 求甲种离子打在底片上的位置到 $ N $ 点的最小距离 $ x $；
(2) 在图中用斜线标出磁场中甲种离子经过的区域，并求该区域最窄处的宽度 $ d $；
(3) 若考虑加速电压有波动，在 $ (U_0 - \Delta U) $ 到 $ (U_0 + \Delta U) $ 之间变化，要使甲、乙两种离子在底片上没有重叠，求狭缝宽度 $ L $ 满足的条件。

答案：
3.题型分析
本题属于质谱仪模型的实际工作情形及误差分析.考查加速电压与粒子轨迹半径间的关系，以及粒子入射点移动情形的几何作图能力.
(1)$\frac{4}{B}\sqrt{\frac{mU_{0}}{q}} - L$
(2)见解析图 $\frac{2}{B}\sqrt{\frac{mU_{0}}{q}}\sqrt{\frac{4mU_{0}}{qB^{2}}} - \frac{L^{2}}{4}$
(3)$L ＜ \frac{2}{B}\sqrt{\frac{m}{q}}[2\sqrt{U_{0} - \Delta U} - \sqrt{2(U_{0} + \Delta U)}]$
解析：
(1)设甲种离子在磁场中的运动半径为$r_{1}$，
$qU_{0} = \frac{1}{2} × 2mv^{2}$，且$qvB = 2m\frac{v^{2}}{r_{1}}$，
解得$r_{1} = \frac{2}{B}\sqrt{\frac{mU_{0}}{q}}$
根据几何关系$x = 2r_{1} - L$，
解得$x = \frac{4}{B}\sqrt{\frac{mU_{0}}{q}} - L$。
(2)如图，最窄处位于过两虚线交点的垂线上，

$d = r_{1} - \sqrt{r_{1}^{2} - (\frac{L}{2})^{2}}$，
解得$d = \frac{2}{B}\sqrt{\frac{mU_{0}}{q}}\sqrt{\frac{4mU_{0}}{qB^{2}}} - \frac{L^{2}}{4}$。
(3)设乙种离子在磁场中的运动半径为$r_{2}$，$r_{1min} = \frac{2}{B}\sqrt{\frac{m(U_{0} - \Delta U)}{q}}$
$r_{2}$的最大半径
$r_{2max} = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2m(U_{0} + \Delta U)}{q}}$，
由题意知$2r_{1min} - 2r_{2max} ＞ L$，
即$\frac{4}{B}\sqrt{\frac{m(U_{0} - \Delta U)}{q}} - \frac{2}{B}\sqrt{\frac{2m(U_{0} + \Delta U)}{q}} ＞ L$，
解得$L ＜ \frac{2}{B}\sqrt{\frac{m}{q}}[2\sqrt{U_{0} - \Delta U} - \sqrt{2(U_{0} + \Delta U)}]$。
名师点评：本题要点在于确定运动半径与电压的关系，同时第
(3)问注意理解甲、乙两种离子打在照相底片上的区域不重叠的含义，即从M点射入的、加速电压为$U_{0} - \Delta U$的甲离子，和从N点射入的、加速电压为$U_{0} + \Delta U$的乙离子，不会打在底片上同一点，甲打在乙的右边，故可列式$2r_{1min} - 2r_{2max} ＞ L$。