《2025年学霸高考黑题物理人教版》

压轴挑战 3（霍尔元件）（2021·天津卷）霍尔元件是一种重要的磁传感器，可用在多种自动控制系统中。长方体半导体材料厚为 $ a $、宽为 $ b $、长为 $ c $，以长方体三边为坐标轴建立坐标系 $ xyz $，如图所示。半导体中有电荷量均为 $ e $ 的自由电子与空穴两种载流子，空穴可看作带正电荷的自由移动粒子，单位体积内自由电子和空穴的数目分别为 $ n $ 和 $ p $，当半导体材料通有沿 $ +x $ 方向的恒定电流后，某时刻在半导体所在空间加一匀强磁场，磁感应强度的大小为 $ B $，沿 $ +y $ 方向，于是在 $ z $ 方向上很快建立稳定电场，称其为霍尔电场，已知电场强度大小为 $ E $，沿 $ -z $ 方向。
（1）判断刚加磁场瞬间自由电子受到的洛伦兹力方向；
（2）若自由电子定向移动在沿 $ +x $ 方向上形成的电流为 $ I_{n} $，求单个自由电子由于定向移动在 $ z $ 方向上受到洛伦兹力和霍尔电场力的合力大小 $ F_{nx} $；
（3）霍尔电场建立后，自由电子与空穴在 $ z $ 方向定向移动的速率分别为 $ v_{nz} $、$ v_{pz} $，求 $ \Delta t $ 时间内运动到半导体 $ z $ 方向的上表面的自由电子数与空穴数，并说明两种载流子在 $ z $ 方向上形成的电流应满足的条件。

答案： 3. 题型分析
本题属于霍尔效应及其应用问题.
(1)考查左手定则判断洛伦兹力方向；
(2)考查自由电子的微观表达式，以及其受洛伦兹力与电场力的计算；
(3)考查自由电子数与空穴数的求解.
(1)沿$+z$方向
(2)$e(\frac{I_nB}{neab} + E)$
(3)$\Delta t$时间内运动到半导体$z$方向的上表面的自由电子数$N_n = nacv_{nz}\Delta t$，空穴数$N_p = pacv_{pz}\Delta t$，形成的电流大小相等、方向相反
解析：
(1)根据左手定则可知，自由电子受到的洛伦兹力沿$+z$方向.
(2)设$t$时间内流过半导体垂直于$x$轴某一横截面自由电子的电荷量为$q$，由电流定义式，有$I_n = \frac{q}{t}$，
设自由电子在$x$方向上定向移动速率为$v_{nx}$，可导出自由电子的电流微观表达式为$I_n = neabv_{nx}$，
单个自由电子所受洛伦兹力大小为$F_洛 = ev_{nx}B$，
霍尔电场力大小为$F_电 = eE$，
自由电子在$z$方向上受到的洛伦兹力和霍尔电场力方向相同，联立得其合力大小为$F_{nx} = e(\frac{I_nB}{neab} + E)$.
(3)设$\Delta t$时间内在$z$方向上运动到半导体上表面的自由电子数为$N_n$、空穴数为$N_p$，则$N_n = nacv_{nz}\Delta t$，$N_p = pacv_{pz}\Delta t$，
霍尔电场建立后，半导体$z$方向的上表面的电荷量就不再发生变化，则应有$N_n = N_p$，
即在任何相等时间内运动到上表面的自由电子数与空穴数相等，这样两种载流子在$z$方向形成的电流应大小相等、方向相反.
名师点评：任何相等时间内运动到上表面的自由电子数与空穴数相等，并据此答题.