《2025年学霸高考黑题物理人教版》

压轴挑战5 旋转圆法(2024·浙江绍兴模拟)在$xOy$平面的$x$轴上方区域范围内存在着范围足够大的匀强磁场(如图甲所示).在空间坐标$(x = 0,y = \frac{1}{2}a)$处有一粒子源,在某一时刻向平面内各个方向均匀发射$N$个($N$足够大)质量为$m$、电荷量为$-q$、速度为$v_0$的带电粒子.(不计粒子重力及粒子间的相互作用,题中$N$、$a$、$m$、$-q$、$v_0$均为已知量)
(1)若放射源所发出的粒子恰好有$\frac{1}{3}$不能到达$x$轴,求磁感应强度为多大.
(2)求解第(1)问中,$x$轴上能接收到粒子的区域长度$L$.
(3)若磁场仅限制在一个半径为$a$的圆形区域内,圆心在坐标$(a,\frac{1}{2}a)$处.保持磁感应强度不变,在$x$轴的正半轴上铺设挡板,粒子源打出的部分粒子恰好垂直打在挡板上并被挡板吸收,求:这部分粒子在先后到达板上的时间内对挡板的平均作用力.

答案：
5. 题型分析
本题属于粒子在直线边界和圆形边界磁场的运动问题,粒子速度大小固定,方向不定,适用旋转圆法,找到临界位置。
(1)$\frac{mv_0}{aq}$
(2)$\frac{\sqrt{15}}{2}a + \frac{\sqrt{3}}{2}a$
(3)$\frac{Nmv_0^2}{6 \pi a}$
解析：
(1)由几何关系可知左右两个相切圆为临界条件,如图：

由于有$\frac{1}{3}$不能到达$x$轴,所以$\angle O_1PO_2 = \frac{2 \pi}{3}$，
由几何关系知,粒子在磁场中做圆周运动半径为$R = a$，
洛伦兹力提供向心力,由牛顿第二定律得$Bqv_0 = m\frac{v_0^2}{R}$，
磁感应强度$B = \frac{mv_0}{aq}$；
(2)粒子打在$x$轴上的范围如图所示,

$x$轴右侧长度为$L_1 = \sqrt{(2a)^2 - (\frac{1}{2}a)^2} = \frac{\sqrt{15}}{2}a$，
$x$轴左侧,粒子运动轨迹与$x$轴相切,由几何关系知$L_2 = \sqrt{a^2 - (\frac{1}{2}a)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a$，可得$L = L_1 + L_2 = \frac{\sqrt{15}}{2}a + \frac{\sqrt{3}}{2}a$；
(3)粒子源打出的部分粒子恰好垂直打在挡板上,轨迹半径$R' = a$，
轨迹如下图,根据几何关系则有：

垂直打在板上的区域有两部分,
$\sin \theta = \frac{\frac{1}{2}a}{a} = \frac{1}{2}$，解得$\theta = \frac{\pi}{6}$，
$\sin \alpha = \frac{\frac{1}{2}a}{a} = \frac{1}{2}$，解得$\alpha = \frac{\pi}{6}$，
粒子源打出的部分粒子恰好垂直打在挡板上的动量的变化量$\Delta p = 2 · \frac{\pi}{6} · Nmv_0 = \frac{Nmv_0}{6}$，
粒子源打出的部分粒子恰好垂直打在挡板上运动的最短时间$t_1 = \frac{\frac{1}{2}a}{v_0} = \frac{a}{2v_0}$，
粒子源打出的部分粒子恰好垂直打在挡板上运动的最长时间$t_2 = \frac{\pi a}{v_0} + \frac{\frac{1}{2}a}{v_0} = \frac{2 \pi a + a}{2v_0}$，
这部分粒子在先后到达板上的时间内对挡板的平均作用力$\overline{F} = \frac{\Delta p}{t_2 - t_1} = \frac{Nmv_0^2}{6 \pi a}$
重难突破：第
(3)问轨迹圆半径等于磁场圆半径,为磁发散模型,从粒子源射入磁场的粒子会平行射出,粒子初速度方向与$y$轴正方向夹角越小,射入位置越远,运动时间越长。