《2025年学霸高考黑题物理人教版》

如图所示，一端开口，长为$ L = 40\ cm $的玻璃管锁定在倾角为$ \alpha = 30° $的光滑斜面上，一段长为$ 10\ cm $的水银柱密封一定质量的理想气体.环境温度为$ 27° C $，已知当地大气压$ p_0 = 75\ cmHg $.
(1)如果解除锁定，玻璃管沿斜面下滑，稳定后水银恰好未溢出管口，求解除锁定前水银柱上端距管口的距离；
(2)如果对密封气体缓慢加热（玻璃管仍然锁定在斜面上），求水银柱恰好移动到管口时的温度.

答案： 2.题型分析
本题是直管与斜面(动力学)结合，在运动的情况下，可以通过牛顿第二定律分析压强关系.
(1)$1.875 cm$
(2)$320 K$
解析：
(1)设未解除锁定时气体的压强为$p_1$、体积为$V_1$，玻璃管的横截面积为$S$，水银柱的长度为$L_0$，水银柱上端距管口的距离为$x$，则有$p_1 = p_0 + P_{L_0} \sin \alpha = 80 cmHg$，$V_1 = (L - L_0 - x)S$，
解除锁定后，设气体的压强为$p_2$，体积为$V_2$，
则有$p_2 = p_0 = 75 cmHg$，$V_2 = (L - L_0)S$，
此过程为等温变化，由玻意耳定律可得$p_1V_1 = p_2V_2$，
代入数据解得$x = 1.875 cm$；
解题技巧：解除锁定后，由于斜面光滑，水银柱处于完全失重状态，空气柱不再需要平衡水银柱，故可直接得出$p_2 = p_0 = 75 cmHg$.
(2)设初始时气体的温度为$T_1$，锁定升温后，设气体的压强为$p_3$、体积为$V_3$、温度为$T_3$，则有
$T_1 = 300 K$，$p_3 = p_1 = 80 cmHg$，$V_3 = V_2 = (L - L_0)S$，
可见，此过程为等压变化，由盖 - 吕萨克定律可得$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_3}{T_3}$，
代入数据解得$T_3 = 320 K$.

如图所示，一内壁光滑的横截面积为$ S = 1\ cm^2 $的玻璃管内装有长为$ h = 10\ cm $的水银，竖直放置平衡时水银柱下端与玻璃管底部相距为$ L_1 = 30\ cm $，水银柱上端离管口为$ L_2 = 10\ cm $，外界大气温度为$ T_0 $，已知大气压强为$ p_0 = 75\ cmHg $.
(1)若给玻璃管缓慢加热，使气体缓慢升温，水银柱上升到管口溢出了$ \frac{h}{2} $的水银，求此时气体温度$ T_1 $与大气温度$ T_0 $的比值（结果保留一位小数）.
(2)把该装有气体和水银的玻璃管水平放置（水银柱如图所示），固定在静止的小车上，求此时水银柱与玻璃管底部的距离$ L_3 $.
(3)在(2)条件下现让小车以水平恒定加速度$ a $向右加速运动，稳定时发现水银柱相对于玻璃管底部移动了距离$ d = 14\ cm $.设此时水银柱质量$ m = 0.14\ kg $，大气压强可视为$ p_0 = 1 × 10^5\ Pa $，整个过程温度保持不变，求小车加速度$ a $的大小.

答案： 3.题型分析
本题属于直管问题，在加速运动时使用牛顿第二定律解题.
(1)$1.4$
(2)$34 cm$
(3)$50 m/s^2$
解析：
(1)初始时气体压强$p_1 = p_0 + \rho gh$，求得$p_1 = 85 cmHg$，
升温后，水银溢出一半时，有$p_2 = p_0 + \rho g\frac{h}{2}$，求得$p_2 = 80 cmHg$，
根据理想气体状态方程有$\frac{p_1L_1S}{T_0} = \frac{p_2}{T_1}(\frac{L_1 + L_2 - \frac{h}{2}}{})S$，求得$\frac{T_1}{T_0} \approx 1.4$.
(2)水平放置，等温变化，根据玻意耳定律$p_1L_1S = p_3L_3S$，$p_3 = p_0$，求得$L_3 = 34 cm$.
(3)小车匀加速时，根据玻意耳定律有$p_4(L_3 - d)S = p_3L_3S$，
对水银柱受力分析$p_4S - p_0S = ma$，解得$a = 50 m/s^2$.