《2025年学霸高考黑题物理人教版》

压轴挑战 5（不共线拉扯类 + 板块模型 + 圆周运动） (2025·湖南长沙期中) 如图所示，一质量 $ M = 3.0\ kg $、长 $ L = 5.15\ m $ 的长木板 $ B $ 静止放置于光滑水平面上，其左端紧靠一半径 $ R = 10\ m $ 的光滑圆弧轨道，但不粘连。圆弧轨道左端点 $ P $ 与圆心 $ O $ 的连线 $ PO $ 与竖直方向夹角为 $ 60° $，其右端最低点处与长木板 $ B $ 上表面相切。距离木板 $ B $ 右端点 $ d = 2.5\ m $ 处有一与木板等高的固定平台，平台上表面光滑，其上放置有质量 $ m = 1.0\ kg $ 的滑块 $ D $。平台上方有一固定水平光滑细杆，其上穿有一质量 $ M_0 = 2.0\ kg $ 的滑块 $ C $，滑块 $ C $ 与 $ D $ 通过一轻弹簧连接，开始时弹簧处于竖直方向。一质量 $ m = 1.0\ kg $ 的滑块 $ A $ 从 $ P $ 点静止开始沿圆弧轨道下滑。$ A $ 下滑至圆弧轨道最低点并滑上木板 $ B $，带动 $ B $ 向右运动，$ B $ 与平台碰撞后即粘在一起不再运动。$ A $ 随后继续向右运动，滑上平台，与滑块 $ D $ 碰撞并粘在一起向右运动。$ A $、$ D $ 组合体在随后运动过程中一直没有离开平台，且 $ C $ 没有滑离细杆。$ A $ 与木板 $ B $ 间动摩擦因数为 $ \mu = 0.75 $。忽略所有滑块大小及空气阻力对问题的影响。重力加速度 $ g $ 取 $ 10\ m/s^2 $，求：
(1) 滑块 $ A $ 到达圆弧最低点时对轨道压力的大小；
(2) 滑块 $ A $ 滑上平台时速度的大小；
(3) 若弹簧第一次恢复原长时，$ C $ 的速度大小为 $ 0.5\ m/s $，则随后运动过程中弹簧的最大弹性势能是多大？

答案： 5.题型分析
不共线拉扯类，圆周运动与板块模型结合，第
(3)问注意分类讨论.
(1)$20\ N$
(2)$2\ m/s$
(3)$2\ J$
解析：
(1)从$P$点到圆弧最低点，由动能定理$mgR(1 - \cos60^{\circ}) = \frac{1}{2}mv^2$，
在最低点，由牛顿第二定律可知$F_N - mg = m\frac{v^2}{R}$，
由牛顿第三定律可知，滑块$A$到达圆弧最低点时对轨道压力的大小$F_N' = F_N = 20\ N$；
(2)假设物块$A$在木板$B$上与$B$共速后木板才到达右侧平台，对$AB$系统，由动量守恒定律$mv_1 = (M + m)v_2$，
由能量关系$\mu mgx_{相} = \frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{1}{2}(M + m)v_2^2$，
解得$x_{相} = 5\ m ＜ 5.15\ m$，
$B$板从开始滑动到$AB$共速的过程中，对$B$由动能定理$\mu mgx_B = \frac{1}{2}Mv_2^2$，
解得$x_B = 1.25\ m ＜ 2.5\ m$，即假设成立；
$B$撞平台后，$A$在$B$上继续向右运动，对$A$由动能定理$-\mu mg(L - x_{相}) = \frac{1}{2}mv_3^2 - \frac{1}{2}mv_2^2$，
解得$v_3 = 2\ m/s$；
(3)$A$与$D$发生碰撞，设碰后速度为$v$，则$mv_3 = 2mv$，解得$v = 1\ m/s$，
易错提醒：题中条件是$C$的速度大小为$0.5\ m/s$，没有指明方向，故需要分情况讨论.
①若弹簧恢复原长时，$C$的速度方向向左，则最开始需要受到向左的力，即弹簧的初态是压缩状态，当$D$被碰撞后向右运动时，被压缩的弹簧会给$C$向左的力；
②若弹簧恢复原长时，$C$的速度方向向右，则最开始需要受到向右的力，即弹簧的初态是原长或伸长状态，当$D$被碰撞后向右运动时，被伸长的弹簧会给$C$向右的力.
①若弹簧初态是压缩状态，则弹簧第一次恢复原长时，$C$的速度方向向左，以向右为正方向，设为$v_5 = -0.5\ m/s$；
对$AD$和$C$系统，由动量守恒定律$2mv = 2mv_4 + M_0v_5$，
三者速度相同时弹性势能最大，由动量守恒定律$2mv = (2m + M_0)v_6$，
由能量关系可知$E_{pmax} = \frac{1}{2} · 2mv_4^2 + \frac{1}{2}M_0v_5^2 - \frac{1}{2}(2m + M_0)v_6^2$，
解得$E_{pmax} = 2\ J$，
②若弹簧初态是原长或伸长状态，则弹簧第一次恢复原长时，$C$的速度方向向右，以向右为正方向，设为$v_5' = 0.5\ m/s$，
同理可解得$v_4' = 0.5\ m/s$，
不符合弹簧恢复原长时的特点.
故弹簧的最大弹性势能是$2\ J$.