《2025年学霸高考黑题物理人教版》

经典模拟 1 立体回旋加速器
（2023·湖南长沙二模）现有一对半圆柱体回旋加速器置于真空中，如图所示，其半径为 $R$，高度为 $H$，两金属盒半圆柱体间狭缝宽度为 $d$，有垂直于盒面向下、磁感应强度大小为 $B$ 的匀强磁场和垂直于盒面向下、电场强度大小为 $E$ 的匀强电场，磁场仅存在于两盒内，而电场存在于整个装置，两盒间接有电压为 $U$ 的交流电。加速器上表面圆心 $A$ 处有一粒子发射器，现有一电荷量为 $+q$、质量为 $m$ 的粒子从 $A$ 点飘入狭缝中，初速度可以视为零。不考虑相对论效应和重力作用，若粒子能从加速器下表面边缘离开，求：

（1）若 $U$ 未知，粒子从 $A$ 点到离开加速器下表面边缘所用时间 $t$ 及动能 $E_{k}$；
（2）粒子在狭缝中被加速的次数 $n$；
（3）若 $H$ 未知，粒子在狭缝中被加速的时间与在磁场中运动的时间的比值。

答案： 1.[学霸三步解题思路]
[答案]
(1)√(2Hm/qE)，qEH²/2 + B²q²R²/2m　
(2)(qB²R² - 2mE H)/(2mU)　
(3)2d/(πR)
解析:
(1)粒子从A点到离开加速器下表面边缘的过程中，竖直方向在电场力作用下做匀加速直线运动，由牛顿第二定律有qE = ma，由运动学公式有H = 1/2at²，解得t = √(2Hm/qE)。
粒子从加速器下表面边缘出去时在水平方向上的速度取决于加速器金属盒的半径，由洛伦兹力提供向心力，有qvB = mv²/R，解得v = qBR/m。
竖直方向上的速度vy = at = √(HqE/m)。
则离开时的动能Ek = 1/2mv² = 1/2m(vx² + vy²) = qEH/2 + B²q²R²/2m。
(2)由
(1)分析可知Ek = nqU + qEH，解得n = (qB²R² - 2mE H)/(2mU)。
(3)设粒子在狭缝中被加速的时间为t1，在磁场运动的时间为t2，有nd = 1/2at1²，qU/d = max，解得t1 = BRd/U。
粒子在磁场中运动的周期T = 2πm/qB，已知粒子每经过一次狭缝，就会在磁场运动半个周期，则t2 = 1/2nT = πBR²/2U。
则t1/t2 = 2d/(πR)