《2025年学霸高考黑题物理人教版》

经典真题 1 （倾斜传送带模型 + 牛顿第二定律）（2021·辽宁卷）机场地勤工作人员利用传送带从飞机上卸行李。如图所示，以恒定速率 $v_1 = 0.6\ m/s$ 运行的传送带与水平面间的夹角 $\alpha = 37°$，转轴间距 $L = 3.95\ m$。工作人员沿传送带方向以速度 $v_2 = 1.6\ m/s$ 从传送带顶端推下一件小包裹（可视为质点）。小包裹与传送带间的动摩擦因数 $\mu = 0.8$。重力加速度 $g$ 取 $10\ m/s^2$，$\sin 37° = 0.6$，$\cos 37° = 0.8$。求：
(1) 小包裹相对传送带滑动时加速度的大小 $a$；
(2) 小包裹通过传送带所需的时间 $t$。

答案：
(1)$0.4$m/s²
(2)$4.5$s
解析:
(1)小包裹的速度$v_2$大于传送带的速度$v_1$，所以小包裹受到传送带的摩擦力沿传送带向上，根据牛顿第二定律可知$\mu mg\cos\theta - mg\sin\theta = ma$，解得$a = 0.4$m/s²；
(2)根据
(1)可知小包裹开始阶段在传送带上做匀减速直线运动，用时$t_1 = \frac{v_2 - v_1}{a} = \frac{1.6 - 0.6}{0.4}s = 2.5$s，
在传送带上滑动的距离为$x_1 = \frac{v_1 + v_2}{2}t_1 = \frac{1.6 m/s + 0.6 m/s}{2} × 2.5$s$= 2.75$m$＜ 3.95$m，
因为小包裹所受滑动摩擦力大于重力沿传送带方向上的分力，即$\mu mg\cos\theta ＞ mg\sin\theta$，所以小包裹与传送带共速后做匀速直线运动至传送带底端，匀速运动的时间为$t_2 = \frac{L - x_1}{v_1} = \frac{3.95 - 2.75}{0.6}s = 2$s，
所以小包裹通过传送带的时间为$t = t_1 + t_2 = 4.5$s.

巩固训练 2 （组合传送带问题 + 划痕问题）（2025·湖南衡阳二模）如图所示，传送带的水平部分 $ab$ 长度 $L_1 = 10\ m$，倾斜部分 $bc$ 长度 $L_2 = 16.8\ m$，$bc$ 与水平方向的夹角为 $\theta = 37°$。传送带沿图示顺时针方向匀速率运动，速率 $v = 4\ m/s$，现将质量 $m = 2\ kg$ 的小煤块（视为质点）由静止轻放到 $a$ 处，之后它将被传送到 $c$ 点，已知小煤块与传送带间的动摩擦因数 $\mu = 0.2$，且此过程中小煤块不会脱离传送带，重力加速度大小 $g$ 取 $10\ m/s^2$，求：
(1) 煤块从 $a$ 运动到 $c$ 的时间；
(2) 煤块在传送带上留下的黑色痕迹的长度。

答案：
(1)$5.5$s
(2)$8.8$m
解析:
(1)煤块在水平部分运动时，由牛顿第二定律$\mu mg = ma_1$，可得煤块运动的加速度$a_1 = 2$m/s²，
煤块从静止加速到与传送带共速的距离为$s_1 = \frac{v^2}{2a_1} = \frac{4^2}{2 × 2} = 4$m$＜ 10$m，
故煤块在水平部分先加速，后匀速运动，加速运动的时间为$t_1 = \frac{v}{a_1} = \frac{4}{2}s = 2$s，
匀速运动的时间$t_2 = \frac{L_1 - s_1}{v} = \frac{10 - 4}{4}s = 1.5$s，
在倾斜传送带上，由于$\mu ＜ \tan\theta = 0.75$，
故煤块在斜传送带上做加速运动，由牛顿第二定律$mg\sin\theta - \mu mg\cos\theta = ma_2$，
可得煤块在倾斜传送带上的加速度为$a_2 = g\sin\theta - \mu g\cos\theta = 4.4$m/s²，
根据匀加速运动的位移与时间的关系有$L_2 = vt_3 + \frac{1}{2}a_2t_3^2$，
解得$t_3 = 2$s，$t_3 = -\frac{42}{11}$s(舍去)，
故煤块从$a$运动到$c$的时间$t = t_1 + t_2 + t_3 = 5.5$s；
(2)煤块在水平传送带的相对位移为$\Delta s_1 = vt_1 - s_1 = (8 - 4)m = 4$m，
煤块在倾斜传送带的相对位移为$\Delta s_2 = L_2 - vt_3 = (16.8 - 8)m = 8.8$m，
由于$\Delta s_1$与$\Delta s_2$是重复痕迹，故煤块在传送带上留下的黑色痕迹长度为$8.8$m.
易错提醒：如图，在水平传送带上，划痕在煤块的前方，进入倾斜传送后，煤块在重力的作用下加速下滑，需要先经过一段划痕，由于$\Delta s_2 ＞ \Delta s_1$，所以划痕的长度为$\Delta s_2$.

巩固训练 3 （倾斜传送带问题 + 弹簧模型 + 功能关系）（2025·海南创新中学协作校联考）如图所示，倾角为 $\theta = 37°$ 的光滑斜面固定在水平地面上，倾角也为 $\theta = 37°$ 的传送带下端 $B$ 非常靠近斜面上端，斜面与传送带上表面在同一平面上。传送带的长 $l = 4.8\ m$，以 $v = 2\ m/s$ 的速度沿顺时针匀速转动。一根轻弹簧放在斜面上，与斜面底端的固定挡板连接，质量为 $1\ kg$ 的物块放在斜面上，用力向下推物块压缩弹簧，在 $A$ 点由静止释放物块，物块沿斜面向上运动，滑上传送带并从 $C$ 点抛出，上升到最高点时速度为 $1.6\ m/s$，物块与传送带间的动摩擦因数为 $0.5$，$A$、$B$ 间的距离为 $2\ m$，重力加速度 $g$ 取 $10\ m/s^2$。
(1) 求物块在传送带上运动的时间；
(2) 物块与传送带间因摩擦产生的热量及弹簧被压缩具有的最大弹性势能；
(3) 若斜面是粗糙的，将传送带改为沿逆时针方向匀速转动，速度大小不变，上述物块压缩弹簧仍在 $A$ 点由静止释放，结果物块刚好不能从传送带 $C$ 点滑出，求物块与斜面间的动摩擦因数以及物块第一次在传送带上滑行的时间。（结果可带根号）

答案：
(1)$0.8$s
(2)$12.8$J $62$J
(3)$0.125$ $(0.4\sqrt{6} + 0.4\sqrt{35} - 0.8)$s
解析:
(1)设在最高点的速度为$v'$，物块运动到$C$点时速度大小为$v_C$，则$v_C\cos\theta = v'$，
解得$v_C = 2$m/s，
由于$mg\sin\theta ＞ \mu mg\cos\theta$，因此物块在传送带上不可能向上做匀速或加速运动，即物块在传送带上一直以相同的加速度做减速运动，
做减速运动的加速度$a_1 = g\sin\theta + \mu g\cos\theta = 10$m/s²，
设物块在$B$的速度大小为$v_B$，由运动学公式有$v_B^2 - v_C^2 = 2a_1l$，解得$v_B = 10$m/s，
在传送带上运动的时间$t_1 = \frac{v_B - v_C}{a_1} = 0.8$s；
(2)物块与传送带间的相对位移$x_1 = l - vt_1 = 3.2$m，
因摩擦产生的热量$Q_1 = \mu mg\cos\theta · x_1 = 12.8$J，
根据机械能守恒得$E_p = mgx_{AB}\sin\theta + \frac{1}{2}mv_B^2$，
解得$E_p = 62$J；
(3)设物块第一次运动到$B$点的速度为$v_B'$，根据运动学公式$v_B'^2 = 2a_1l$，解得$v_B' = 4\sqrt{6}$m/s，
设物块与斜面间的动摩擦因数为$\mu'$，根据功能关系$E_p = \frac{1}{2}mv_B'^2 + mgx_{AB}\sin\theta + \mu'mgx_{AB}\cos\theta$，解得$\mu' = 0.125$，
物块在传送带上向上运动过程中，运动的时间$t_2 = \frac{v_B'}{a_1} = 0.4\sqrt{6}$s，
物块从传送带顶端向下加速运动，至与传送带速度相等，时间$t_3 = \frac{v}{a_1} = 0.2$s，
运动的距离$x_2 = \frac{v^2}{2a_1} = 0.2$m，
物块以$v = 2$m/s的初速度继续向下做加速运动，加速度大小$a_2 = g\sin\theta - \mu'g\cos\theta = 2$m/s²，
向下运动的距离$x_3 = l - x_2 = 4.6$m，
设离开传送带时的速度为$v_B''$，则$v_B''^2 - v^2 = 2a_2x_3$，解得$v_B'' = 4\sqrt{\frac{7}{5}}$m/s，
即物块以$2$m/s初速度在传送带上继续下滑时间$t_4 = \frac{v_B'' - v}{a_2} = (0.4\sqrt{35} - 1)$s，
物块第一次在传送带上的时间$t = t_2 + t_3 + t_4 = (0.4\sqrt{6} + 0.4\sqrt{35} - 0.8)$s.