《2025年学霸高考黑题物理人教版》

4. 压轴挑战 4 调速器原理 + 传动装置 + 圆锥摆模型（2024·湖南郴州联考）小新的家乡有很多风车磨坊，他发现风太大时，由风车带动的磨盘转速过快，容易造成磨盘的损坏，为解决这个问题，他设计了如图所示的装置用于控制磨盘转速。左边的轴由风车带动旋转，轴上端一工件固定在轴上随轴转动。轴上套着一个可以沿轴上下滑动的质量为 $ M $ 的塔轮，塔轮与轴之间的摩擦力不计。塔轮和上方工件以及两个质量 $ m = \dfrac{1}{2}M $ 的小球由四根长为 $ L $ 的轻杆通过铰链连接，上方工件上的两个铰链与塔轮上正下方对应的两个铰链之间的距离都为 $ d = 0.8L $。塔轮与上方工件之间有一个原长为 $ l_0 = 1.6L $，劲度系数为 $ k = \dfrac{3Mg}{4L} $ 的轻质弹簧。随着风车转速的增加，塔轮会向上移动，换挡器将皮带换到下方半径更小的轮上，从而减小磨盘的转速。皮带对塔轮的作用力的竖直分量忽略不计，重力加速度为 $ g $。塔轮的每一层厚度均为 $ 0.04L $，且塔轮层数足够多（$ \cos 37° = 0.8 $，$ \sin 37° = 0.6 $）。
(1) 在装上方工件及两个小球后，小新打算先检验一下这些部分能否正常工作，转动装置，当轻杆与竖直方向成 $ 37° $ 夹角时，求转动的角速度 $ \omega_0 $ 的大小；
(2) 全部安装完成后，风车转动时弹簧恰好处于原长，求此时风车转动的角速度 $ \omega_1 $ 为多大；
(3) 弹簧处于原长时，塔轮的某一层正好与右边的轮平齐；当左边轴的角速度增大为 $ \omega_2 $ 时，正好向下换挡 10 次且塔轮的对应层与右边的轮平齐，则 $ \omega_2 $ 为多大？

答案：
4.题型分析
本题属于【模型(二)】非水平力提供向心力的圆锥摆运动.
(1)$\omega_0 = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3g}{L}}$
(2)$\omega_1 = \frac{3}{2}\sqrt{\frac{g}{L}}$
(3)$\omega_2 = 2\sqrt{\frac{g}{L}}$
解析：
(1)摆角为$\theta$时，轨迹半径为$r = \frac{d}{2} + L\sin \theta = L$，
对一侧小球，由竖直方向受力平衡$F_T\cos \theta = mg$，
沿半径方向，由牛顿第二定律$F_T\sin \theta = m\omega_0^2r$，
解得$F_T = \frac{5}{8}Mg$，$\omega_0 = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3g}{L}}$
(2)弹簧处于原长时，杆与竖直方向的夹角记为$\theta_1$，则$\cos \theta_1 = \frac{l_0}{2L} = \frac{4}{5}$，故$\sin \theta_1 = \frac{3}{5}$，
两边小球做圆周运动的半径为$r_1 = L\sin \theta_1 + \frac{d}{2} = L$，
由对称性，上方两根杆的拉力等大，记为$F_{T1}$；下方两根杆的拉力也等大，记为$F_{T1}'$；
则对塔轮，竖直方向受力平衡$2F_{T1}'\cos \theta_1 = Mg$，
对两侧小球和塔轮，竖直方向受力平衡$2F_{T1}\cos \theta_1 = (M + 2m)g$，
对一侧小球，沿半径方向由牛顿第二定律$(F_{T1} + F_{T1}')\sin \theta_1 = m\omega_1^2r_1$，
解得$F_{T1}' = \frac{5}{8}Mg$，$F_{T1} = \frac{5}{4}Mg$，$\omega_1 = \frac{3}{2}\sqrt{\frac{g}{L}}$
(3)向下换挡10次塔轮上移$0.4L$，弹簧形变量为$0.4L$，弹簧弹力大小为$F_2 = k(0.4L) = \frac{3Mg}{10}$，方向向下.
此时，杆与竖直方向的夹角记为$\theta_2$，则$\cos \theta_2 = \frac{l_0 - 0.4L}{2L} = \frac{3}{5}$，故$\sin \theta_2 = \frac{4}{5}$，
小球做圆周运动的半径为$r_2 = L\sin \theta_2 + \frac{d}{2} = 1.2L$，
设此时上方两杆的拉力大小为$F_{T2}$，下方两杆的拉力大小为$F_{T2}'$.
对塔轮，竖直方向受力平衡有$2F_{T2}'\cos \theta_2 = Mg + F_2$，
对两侧小球和塔轮，竖直方向受力平衡$2F_{T2}\cos \theta_2 = (M + 2m)g + F_2$，
对一侧小球，沿半径方向由牛顿第二定律$(F_{T2} + F_{T2}')\sin \theta_2 = m\omega_2^2r_2$，
解得$F_{T2}' = \frac{13}{12}Mg$，$F_{T2} = \frac{23}{12}Mg$，$\omega_2 = 2\sqrt{\frac{g}{L}}$
名师点评：如图所示，当风车转速增大时，塔轮向上移动，由于换挡器的限制，皮带不会随之上升，而是掉到塔轮的下一层，即$R_1$减小.
$\omega_{左}:\omega_{右} = R_2:R_1$，由于$R_2$不变，$R_1$减小，故可以在风车转速增大时使磨盘转速保持稳定，防止转速过快损坏磨盘.