《2025年学霸高考黑题物理人教版》

压轴挑战 4 单杆水平轨道变式（2024·湖南天壹联盟三模）
如图所示，有一个质量为 $ m_{2} $ 的 $ U $ 形金属导轨 $ abcd $ 水平放在光滑的绝缘水平面上，导轨 $ ab $、$ cd $ 足够长且电阻不计，$ bc $ 长为 $ L $，电阻为 $ R_{1} $，另有一接入电路电阻为 $ R_{2} $、质量为 $ m_{3} $ 的导体棒 $ PQ $ 水平放置在导轨上，始终与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为 $ \mu $，$ PQbc $ 构成矩形，$ PQ $ 右侧有两个固定于水平面的立柱，匀强磁场大小均为 $ B $，虚线右侧竖直向上，左侧水平向右，导轨 $ bc $ 边的中点用细绳绕过光滑的定滑轮连接一个质量为 $ m_{1} $ 的重物，刚开始导轨、重物的速度均为 $ 0 $，现静止释放重物，当重物下落高度 $ h $ 时，导轨 $ abcd $ 的速度恰好达到稳定，在这一过程中，导轨与 $ PQ $ 摩擦生热为 $ Q_{1} $。重力加速度为 $ g $。求：

(1) 导轨 $ abcd $ 稳定的速度 $ v $；
(2) 从导轨开始运动到速度稳定这一过程中，导体棒 $ PQ $ 产生的焦耳热 $ Q $；
(3) 导轨 $ abcd $ 从开始运动到稳定需要的时间 $ t $。（计算结果中导轨 $ abcd $ 稳定时的速度用 $ v $ 表示）

答案： 4.本题属于单杆水平轨道的变式，不是拉动杆，而是拉动导轨，用固定在水平面的立柱阻止杆运动，考查能量守恒和动量定理的应用.
(1)$\frac{(m_{1}g-\mu m_{3}g)(R_{1}+R_{2})}{(1+\mu)B^{2}L^{2}}$
(2)$\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\left[m_{1}gh-\frac{(m_{1}+m_{2})(m_{1}g-\mu m_{3}g)^{2}(R_{1}+R_{2})^{2}}{2(1+\mu)^{2}B^{4}L^{4}}-Q_{1}\right]$
(3)导轨$abcd$从开始运动到稳定，以导轨$abcd$和重物为系统，根据动量定理可得$m_{1}gt-\sum F_{安}t-\sum ft=(m_{1}+m_{2})v$，
其中$\sum F_{安}t=\sum\frac{B^{2}L^{2}v}{R_{1}+R_{2}}\Delta t=\frac{B^{2}L^{2}}{R_{1}+R_{2}}\sum v\Delta t=\frac{B^{2}L^{2}h}{R_{1}+R_{2}},\sum ft=\sum\mu m_{3}g+\frac{B^{2}L^{2}v}{R_{1}+R_{2}}t=\mu m_{3}gt+\frac{\mu B^{2}L^{2}h}{R_{1}+R_{2}}$，
联立解得导轨$abcd$从开始运动到稳定需要的时间为$t = \frac{(m_{1}+m_{2})v}{m_{1}g-\mu m_{3}g(R_{1}+R_{2})(m_{1}g-\mu m_{3}g)}$