《2025年学霸高考黑题物理人教版》

经典真题 1 弹性碰撞 + 多次碰撞 (2025·江苏卷)如图所示，在光滑水平面上，左右两列相同的小钢球沿同一 直线放置。每列有 $n$ 个。在两列钢球之间，一质量为 $m$ 的玻璃球以初速度 $v_0$ 向右运动，与钢球发生正碰。所有球之间的碰撞均视为弹性碰撞。

(1)若钢球质量为 $m$，求最右侧的钢球最终运动的速度大小；
(2)若钢球质量为 $3m$，求玻璃球与右侧钢球发生第一次碰撞后，玻璃球的速度大小 $v_1$；
(3)若钢球质量为 $3m$，求玻璃球经历 $2n$ 次碰撞后的动能 $E_k$。

答案： 1.【学霸三步解题思路】
步骤A 题干正向延伸
直接信息：
①所有钢球质量都相等
②玻璃球质量为m
③玻璃球以初速度$v_0$向右运动
④所有碰撞为弹性碰撞
间接信息：
①等质量小球发生弹性碰撞，速度交换
②质量小的小球弹性碰撞质量大的小球时，小球会被反弹
步骤B 设问反向推演
(1)若钢球质量为m，求最右侧的钢球最终运动的速度大小$\Rightarrow$玻璃球与钢球质量相等$\Rightarrow$根据等质量小球弹性碰撞时的特点解题
(2)若钢球质量为3m，求玻璃球与右侧钢球发生第一次碰撞后，玻璃球的速度大小$v_1$$\Rightarrow$根据弹性碰撞动量守恒与机械能守恒列式求解
(3)若钢球质量为3m，求玻璃球经历2n次碰撞后的动能$E_k$$\Rightarrow$由
(2)知玻璃球每次与静止钢球碰撞后反弹且速度大小变为原来的一半$\Rightarrow$钢球运动后与后面的钢球速度交换，然后静止$\Rightarrow$玻璃球左右运动每次撞击的都是静止的钢球，每撞击一次速度减半
步骤C 正反连接
(1)玻璃球与右侧第一个钢球发生弹性碰撞，因为二球质量相等速度交换，玻璃球静止，钢球获得玻璃球速度，之后钢球与右侧钢球继续碰撞并交换速度，此过程一直重复到右侧最后一个钢球，故最右侧钢球最终速度大小为$v_0$
(2)动量守恒定律：$mv_0=mv_1+3mv_2$
能量守恒定律：$\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}×3mv_2^2$
解得$v_1=\frac{m-3m}{m+3m}v_0=-\frac{1}{2}v_0$，$v_2=\frac{2m}{m+3m}v_0=\frac{1}{2}v_0$
负号表示速度反向，则玻璃球的速度大小为$\frac{1}{2}v_0$
(3)玻璃球每次都与静止的钢球碰撞，且速度减半，故玻璃球碰撞2n次后速度大小为$v=(\frac{1}{2})^{2n}v_0$，则玻璃球碰撞2n次后最终动能大小$E_k=\frac{1}{2}mv^2=(\frac{1}{2})^{4n+1}mv_0^2$
【答案】
(1)$v_0$
(2)$\frac{v_0}{2}$
(3)$(\frac{1}{2})^{4n+1}mv_0^2$
解析：
(1)根据题意可知，所有碰撞均为弹性碰撞，由于钢球质量也为m，根据动量守恒和机械能守恒可知，碰撞过程中，二者速度互换，则最终碰撞后最右侧钢球的速度大小等于开始碰撞前玻璃球的初速度$v_0$.
(2)根据题意可知，所有碰撞均为弹性碰撞，则由动量守恒定律有$mv_0=mv_1+3mv_2$，
由能量守恒定律有$\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}×3mv_2^2$，
解得$v_1=\frac{m-3m}{m+3m}v_0=-\frac{1}{2}v_0$，$v_2=\frac{2m}{m+3m}v_0=\frac{1}{2}v_0$，
负号表示速度反向，则玻璃球的速度大小为$\frac{1}{2}v_0$.
(3)根据题意结合小问
(2)分析可知，玻璃球与右侧第一个钢球碰撞后反弹，且速度大小变为碰撞前的$\frac{1}{2}$，右侧第一个钢球又与第二个钢球发生弹性碰撞，速度互换，静止在光滑水平面上，玻璃球反弹后与左侧第一个钢球同样发生弹性碰撞，同理可得，碰撞后玻璃球再次反弹，且速度大小为碰撞前的$\frac{1}{2}$，综上所述，玻璃球碰撞2n次后速度大小为$v=(\frac{1}{2})^{2n}v_0$，
则玻璃球碰撞2n次后最终动能大小$E_k=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m(\frac{1}{2})^{4n}v_0^2=(\frac{1}{2})^{4n+1}mv_0^2$.

巩固训练 2 弹性碰撞 + 动碰静 (2025·辽宁本溪二模)如图所示，两位小朋友在可视为光滑的水平地面上玩弹珠游戏。其中一位将弹珠甲对着另一位脚边的静止弹珠乙弹出，甲以 $v_0$ 的速度与乙发生了弹性正碰，已知弹珠可以视为光滑，则(D)


A.若碰后甲、乙同向运动，则甲的质量一定小于乙的质量
B.若碰后甲反弹，则甲的速率可能为 $1.2v_0$
C.碰后乙的速率可能为 $3v_0$
D.若碰后甲反弹，则甲的速率可能大于乙的速率

答案： 2.题型分析
本题参见解题模型“弹性碰撞—动碰静”经典模型碰撞前后速度分析.
D 解析：A.甲、乙弹珠碰撞瞬间动量守恒，机械能守恒，设弹珠甲、乙的质量分别为$m_1$、$m_2$，碰后甲的速度为$v_1$，乙的速度为$v_2$，则有$m_1v_0=m_1v_1+m_2v_2$，$\frac{1}{2}m_1v_0^2=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2$，联立解得$v_1=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_0$，$v_2=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_0$，若碰后甲、乙同向运动，则$v_1＞0$，可知甲的质量一定大于乙的质量，A项错误；B.若碰后甲反弹，且甲的速率为$1.2v_0$，则有$-1.2v_0=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_0$，解得$0.2m_2=-2.2m_1$，质量不能为负值，故若碰后甲反弹，则甲的速率不可能为$1.2v_0$，B项错误；C.若碰后乙的速率为$3v_0$，则有$3v_0=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_0$，解得$m_1=-3m_2$，质量不能为负值，故碰后乙的速率不可能为$3v_0$，C项错误；D.若碰后甲反弹，且甲的速率大于乙的速率，则有$\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}v_0＞\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_0$，可知，只要$m_2-m_1＞2m_1$，即$m_2＞3m_1$，就可满足碰后甲反弹，且甲的速率大于乙的速率，D项正确.故选D.
名师点评：“弹性碰撞—动碰静”，甲、乙质量相等则碰撞后二者速度互换，甲质量大则碰撞后甲、乙同向运动，甲质量小则甲反弹往回运动；若乙质量无限大，则甲获得反弹后最大速度，为$v_0$，若甲质量无限大，则乙获得最大速度，为$2v_0$.