《2025年学霸高考黑题物理人教版》

经典真题1（线圈在磁场中平动+动量守恒）（2024·湖北卷）
如图所示，两足够长平行金属直导轨MN、PQ的间距为L，固定在同一水平面内，直导轨在左端M、P点分别与两条竖直固定、半径为L的$\frac{1}{4}$圆弧导轨相切。MP连线与直导轨垂直，其左侧无磁场，右侧存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。长为L、质量为m、电阻为R的金属棒ab跨放在两圆弧导轨的最高点。质量为2m、电阻为6R的均匀金属丝制成一个半径为L的圆环，水平放置在两直导轨上，其圆心到两直导轨的距离相等。忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属环的可能形变，金属棒、金属环均与导轨始终接触良好，重力加速度大小为g。现将金属棒ab由静止释放，求：
(1)ab刚越过MP时产生的感应电动势大小；
(2)金属环刚开始运动时的加速度大小；
(3)为使ab在整个运动过程中不与金属环接触，金属环圆心初始位置到MP的距离的最大值。

答案：
1.【学霸三步解题思路】
步骤A 题干正向延伸
直接信息：
①金属棒$ab$初始高度为$L$
②水平导轨区域存在磁感应强度大小为$B$、方向竖直向下的匀强磁场
间接信息：
①由几何关系可知，导轨之内的线圈部分占总线圈的$\frac{1}{3}$
②导轨之外的两段线圈被短路，导轨之内的两段线圈并联
步骤B 设问反向推演
(1)$ab$刚越过$MP$时产生的感应电动势
$\Rightarrow$根据动能定理求出$ab$越过$MP$时的速度
$\Rightarrow$代入公式$E = BLv$中计算感应电动势
(2)金属环刚开始运动时的加速度大小
$\Rightarrow$根据
(1)问的电动势求出电流大小
$\Rightarrow$根据安培力提供加速度求出加速度
(3)$ab$在整个运动过程中不与金属环接触，求金属环圆心初始位置到$MP$的距离下界的最大值
$\Rightarrow$计算速度相等时，金属棒和金属环的位移差$\Delta x$
$\Rightarrow$距离下界的最大值=位移差$\Delta x+$半径$L$
步骤C 正反连接
(1)$mgL = \frac{1}{2}mv_{0}^{2}$，$E = BLv_{0}$
(2)$I = \frac{E}{R_{总}}$，$2BL · \frac{I}{2} = 2ma$
(3)$mv_{0} = (m + 2m)v$，$- B\overline{I}L\Delta t = m · \frac{v_{0}}{3} - mv_{0}$，$d = L + \Delta x$
【答案】
(1)$BL\sqrt{2gL}$
(2)$\frac{B^{2}L^{2}\sqrt{2gL}}{3mR}$
(3)$\frac{B^{2}L^{3} + mR\sqrt{2gL}}{B^{2}L^{2}}$
解析：
(1)根据题意可知，对金属棒$ab$由静止释放到刚越过$MP$过程中，由动能定理有$mgL = \frac{1}{2}mv_{0}^{2}$，
解得$v_{0} = \sqrt{2gL}$，
则$ab$刚越过$MP$时产生的感应电动势大小为$E = BLv_{0} = BL\sqrt{2gL}$；
(2)导体棒刚好进入磁场时，如图所示：

由于$AO = OC = AC = L$，根据数学知识$\angle AOC = 60^{\circ}$，因此$AC$段导线对应的电阻$R_{AC} = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} × 6R = R$，
金属环在导轨间的两段圆弧并联接入电路中，轨道外侧的两段圆弧金属环被短路，
则并联电阻$R_{并} = \frac{R · R}{R + R} = \frac{1}{2}R$，整个电路总电阻$R_{总} = R + \frac{1}{2}R = \frac{3}{2}R$
$ab$刚越过$MP$时，通过$ab$的感应电流为$I = \frac{E}{R_{总}} = \frac{2BL\sqrt{2gL}}{3R}$，
对金属环由牛顿第二定律有$2BL · \frac{I}{2} = 2ma$，
解得$a = \frac{B^{2}L^{2}\sqrt{2gL}}{3mR}$；
(3)根据题意，结合上述分析可知，金属环和金属棒$ab$所受的安培力等大反向，则系统的动量守恒，由于金属环做加速运动，金属棒做减速运动，为使$ab$在整个运动过程中不与金属环接触，则有当金属棒$ab$和金属环速度相等时，金属棒$ab$恰好没追上金属环，设此时速度为$v$，由动量守恒定律有$mv_{0} = (m + 2m)v$，
解得$v = \frac{1}{3}v_{0}$，
设经过时间$t$金属棒与圆环达到共速，金属棒中平均电流为$\overline{I}$，
对金属棒$ab$，由动量定理有$- B\overline{I}L\Delta t = m · \frac{v_{0}}{3} - mv_{0} = - \frac{2}{3}mv_{0}$，
其中$\overline{I} = \frac{\overline{E}}{\frac{3}{2}R} = \frac{2E}{3R} = \frac{2BL(\overline{v_{棒}} - \overline{v_{环}})}{3R}$，
由于金属棒$ab$恰好没追上金属环，$\Delta x = x_{棒} - x_{环} = (\overline{v_{棒}} - \overline{v_{环}})t$，
联立解得$\Delta x = \frac{mR\sqrt{2gL}}{B^{2}L^{2}}$，
则金属环圆心初始位置到$MP$的距离的最大值$d = L + \Delta x = \frac{B^{2}L^{3} + mR\sqrt{2gL}}{B^{2}L^{2}}$

如图所示，正方形ABCD被对角线分割成四个区域，左右两个三角形内分别有垂直纸面向外和向里的匀强磁场，磁感应强度大小相等。金属环初始位置与下方三角形内切，一个四角带有圆弧的绝缘轨道，其直边与正方形重合，圆弧半径均与金属环半径相等。让该金属环沿绝缘轨道内侧以恒定速率逆时针运动一周，规定逆时针方向为电流正方向，关于环内电流随时间变化关系，下列图像正确的是(D)

答案： 2.题型分析
本题属于线框转动通过磁场区域的模型.考查对线框有效切割磁场长度的判断、感应电动势分析能力.
D解析：根据楞次定律可知，线圈由图示位置开始逆时针匀速滚动时，线圈内垂直于纸面向里的磁通量增大，产生垂直于纸面向外的感应磁场，根据右手螺旋定则可知，线圈将产生逆时针方向的电流，根据法拉第电磁感应定律可知，线圈内将产生正弦式的周期性变化的电流，即$0 \sim \frac{T}{4}$，电流逆时针方向，$\frac{T}{4} \sim \frac{T}{2}$，电流顺时针方向，$\frac{T}{2} \sim \frac{3T}{4}$，电流顺时针方向，$\frac{3T}{4} \sim T$，电流逆时针方向.故选D.
名师点评：根据磁通量的变化，应用楞次定律判断产生感应磁场的方向，电流的方向再结合电磁感应定律即可分析出.