《2025年学霸高考黑题物理人教版》

巩固训练2(组合电场+类斜抛运动)(2024·河北豫南名校二模)(多选)虚线间存在如图所示的电场，虚线左侧的匀强电场$E_1$与水平虚线间的夹角$\alpha = 37^{\circ}$，一比荷为$k$的带正电的粒子由水平虚线上的$A$点静止释放，经过一段时间由竖直虚线的$B$(图中未画出)点进入虚线右侧竖直向下的匀强电场$E_2$($E_2$未知)，最终粒子由水平虚线的$C$(图中未画出)点离开电场，离开电场瞬间的速度与水平虚线的夹角为$\theta = 53^{\circ}$。已知$OA = 4L$，电场强度$E_1 = E$，不计粒子的重力，$\sin37^{\circ}=0.6$，$\cos37^{\circ}=0.8$。则下列说法正确的是(CD)


A.$E_2 = E$
B.$OC = 10L$
C.粒子由$A$到$C$的时间为$\frac{16}{7}\sqrt{\frac{10L}{kE}}$
D.$A$、$C$两点的电势差为$\frac{80}{9}EL$

答案： 2.题型分析
带电粒子在电场中的加速直线运动与类斜抛运动，利用运动的分解进行计算。
CD解析：A.粒子由A点静止释放，粒子在$E_1$中做匀加速直线运动，A、B两点间的距离为$x_{AB}=\frac{4L}{\cos 37^{\circ}} = 5L$，$x_{B0}=4L\tan 37^{\circ}=3L$，又$E_1 = E$，则该过程由动能定理得$qE_1x_{AB}=\frac{1}{2}mv_{B}^{2}$，解得$v_{B}=\sqrt{10kEL}$，粒子由B到C的过程做类斜抛运动，粒子在水平方向做匀速直线运动，速度为$v_1 = v_{B}\cos 37^{\circ}=\frac{4}{5}\sqrt{10kEL}$，在竖直方向做类竖直上抛运动，初速度为$v_2 = v_{B}\sin 37^{\circ}=\frac{3}{5}\sqrt{10kEL}$，由题意粒子在C点的速度与虚线的夹角为$\theta = 53^{\circ}$，设竖直方向的速度为$v_2'$，则由$\tan53^{\circ}=\frac{v_2'}{v_1}$解得$v_2'=\frac{16}{15}\sqrt{10kEL}$，在竖直方向上由牛顿第二定律得$a=\frac{qE_2}{m}=kE_2$，由速度公式得$v_2'=-v_2 + at_2$，又由位移公式得$3L=-v_2t_2+\frac{1}{2}at_2^{2}$，解得$t_2=\frac{9}{7}\sqrt{\frac{10L}{kE}}$，$E_2=\frac{35}{27}E$，故A错误；B.O、C两点间的距离为$x_{OC}=v_1t_2$，整理得$x_{OC}=\frac{72}{7}L$，故B错误；C.粒子由A到B的时间为$t_1=\frac{5L}{v_B}=\frac{10L}{\sqrt{10kEL}}$，解得$t_1=\sqrt{\frac{10L}{kE}}$，所以粒子由A到C的总时间为$t=t_1 + t_2=\frac{16}{7}\sqrt{\frac{10L}{kE}}$，故C正确；D.粒子在C点的速度为$v_C=\sqrt{v_1^{2}+v_2'^{2}}$，粒子由A到C的过程由动能定理得$qU_{AC}=\frac{1}{2}mv_C^{2}$，解得$U_{AC}=\frac{80}{9}EL$，故D正确。故选CD。

巩固训练3（空气净化+考虑空气阻力的偏转运动）（2023·北京卷）某种负离子空气净化原理如图所示。由空气和带负电的灰尘颗粒物（视为小球）组成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器。在收集器中，空气和带电颗粒沿板方向的速度$v_0$保持不变。在匀强电场作用下，带电颗粒打到金属板上被收集，已知金属板长度为$L$，间距为$d$，不考虑重力影响和颗粒间相互作用。
（1）若不计空气阻力，质量为$m$、电荷量为$-q$的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压$U_1$。
（2）若考虑空气阻力，颗粒所受阻力与其相对于空气的速度$v$方向相反，大小为$f = krv$，其中$r$为颗粒的半径，$k$为常量。假设颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度。
a. 半径为$R$、电荷量为$-q$的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压$U_2$；
b. 已知颗粒的电荷量与其半径的平方成正比，进入收集器的均匀混合气流包含了直径为$10\ \mu m$和$2.5\ \mu m$的两种颗粒，若$10\ \mu m$的颗粒恰好$100\%$被收集，求$2.5\ \mu m$的颗粒被收集的百分比。

答案： 3.题型分析
带电粒子在匀强电场中的类平抛运动与一般运动
(1)$\frac{2d^{2}mv_{0}^{2}}{qL^{2}}$
(2)a.$\frac{d^{2}kRv_{0}}{qL}$ b.$25\%$
解析：
(1)只要紧靠上极板的颗粒能够落到收集板上，颗粒就能够全部收集，水平方向有$L = v_0t$，竖直方向$d=\frac{1}{2}at^{2}$，根据牛顿第二定律得$qE = ma$，又$E=\frac{U_1}{d}$，解得$U_1=\frac{2d^{2}mv_{0}^{2}}{qL^{2}}$；
(2)a.颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，竖直方向$F_{电}=f$，$\frac{qU_2}{d}=kRv_{max}$，且$\frac{d}{v}=\frac{L}{v_0}$，解得$U_2=\frac{d^{2}kRv_{0}}{qL}$；
b.10μm带电荷量$q$的颗粒恰好100%被收集，颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，所受阻力等于电场力，有$f = kRv_{max}$，$f=\frac{qU_2}{d}$，在竖直方向颗粒匀速下落$d = v_{max}t$，$2.5\ \mu m$的颗粒带电荷量为$q'=\frac{q}{16}$，颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，所受阻力等于电场力，有$f'=\frac{1}{4}kRv_{max}'$，$f'=\frac{q'U_2}{d}$，设只有距下极板为$d'$的颗粒被收集，在竖直方向颗粒匀速下落$d' = v_{max}'t$，解得$d'=\frac{d}{4}$，$2.5\ \mu m$的颗粒被收集的百分比为$\frac{d'}{d}×100\% = 25\%$。
重难突破：在考虑空气阻力时，在竖直方向上最终会做匀速运动，而带电颗粒在极短时间内加速到最大速度，即忽略加速时间，直接考虑竖直方向上以最大速度做匀速运动。