《2025年学霸高考黑题物理人教版》

压轴挑战5 斜面模型+圆周运动+动能定理+临界极值问题 (2022·浙江1月选考)如图所示,处于竖直平面内的探究装置,由倾角$\alpha=37^{\circ}$的光滑直轨道$AB$、圆心为$O_{1}$的半圆形光滑轨道$BCD$、圆心为$O_{2}$的半圆形光滑细圆管轨道$DEF$、倾角也为$37^{\circ}$的粗糙直轨道$FG$组成,$B、D$和$F$为轨道间的相切点,$B、O_{1}、D、O_{2}$和$F$点处于同一直线上.已知可视为质点的滑块质量$m=0.1\ kg$,轨道$BCD$和$DEF$的半径$R=0.15\ m$,轨道$AB$长度$l_{AB}=3\ m$,滑块与轨道$FG$间的动摩擦因数$\mu=\frac{7}{8}$,滑块与弹性板作用后,以等大速度弹回,$\sin37^{\circ}=0.6,\cos37^{\circ}=0.8$.滑块开始时均从轨道$AB$上某点静止释放.(取$g=10\ m/s^2$)
(1)若释放点距$B$点的长度$l=0.7\ m$,求滑块到最低点$C$时轨道对其支持力$F_{N}$的大小;
(2)设释放点距$B$点的长度为$l_{x}$,求滑块第一次经$F$点时的速度$v$与$l_{x}$之间的关系式;
(3)若滑块最终静止在轨道$FG$的中点,求释放点距$B$点长度$l_{x}$的值.

答案： 5. 题型分析
半圆轨道和斜面结合的多段、多过程复杂问题，圆周运动向心力公式，动能定理，斜面上摩擦力做功计算.
(1)$7N$
(2)$v = \sqrt{12l_x - 9.6}(m/s)(0.85m \leq l_x \leq 3m)$
(3)$\frac{13}{15}m, \frac{9}{5}m, \frac{41}{15}m$
解析：
(1)滑块释放运动到$C$点过程，由动能定理得
$mgl_x\sin 37° + mgR(1 - \cos 37°) = \frac{1}{2}mv_C^2$，
经过$C$点时$F_N - mg = m\frac{v_C^2}{R}$，解得$F_N = 7N$.
易错提醒：$B$、$C$两点的竖直位移不要漏掉，画好辅助线用几何方法求解.
(2)要保证滑块能到达$F$点，必须要保证它能到达$DEF$最高点，当小球恰好到达$DEF$最高点时，
由动能定理得$mgl_x\sin 37° - mg(3R\cos 37° + R) = \frac{1}{2}mv_0^2 \geq 0$.可解得$l_x \geq 0.85m$.
在此条件下判断是否可以通过$D$点：
滑块能通过$D$点需满足：$mg\cos 37° \leq m\frac{v_D^2}{R}$，解得：$v_D^2 \geq gR\cos 37°$.
由$D$点能到圆管轨道最高点需满足：$\frac{1}{2}mv_D^2 \geq mg(R + R\cos 37°)$，解
得：$v_D^2 \geq 2gR(1 + \cos 37°) ＞ gR\cos 37°$，
可见只要能到达$F$点就一定能通过$D$点.
能过最高点时，则能到$F$点，根据动能定理得
$mgl_x\sin 37° - mg × 4R\cos 37° = \frac{1}{2}mv^2$，解得$v = \sqrt{12l_x - 9.6}(m/s)$
($0.85m \leq l_x \leq 3m$).
易错提醒：并不是$l_x$取任意值滑块都能到达$F$点，虽然原题并没有问$l_x$的范围，但是没有取值范围的关系式是不完整的，所以不要漏掉关于滑块能否到达$F$点的判断，标准的答案是带有$l_x$取值范围的关系式.
(3)设全过程摩擦力对滑块做功为第一次到达中点时做功的$n$倍，
则$n = 1,3,5,·s$，
名师点评：以通过$FG$一半位移摩擦力所做的功为基准，把全程摩擦力做的总功表示为基准值的$n$倍，这样的表示方式使问题的讨论变得简洁明了，善于观察、找到问题的内在规律、灵活使用数学语言很重要.
$mgl_x\sin 37° - mg\frac{l_{FG}}{2}\sin 37° - n\mu mg\frac{l_{FG}}{2}\cos 37° = 0, l_{FG} = \frac{4R}{\tan 37°}$，
解得$l_x = \frac{7n + 6}{15}m(n = 1,3,5,·s)$.
又因为$l_{AB} \geq l_x \geq 0.85m, l_{AB} = 3m$，
当$n = 1$时，$l_{x1} = \frac{13}{15}m$，当$n = 3$时，$l_{x2} = \frac{9}{5}m$，当$n = 5$时，$l_{x3} = \frac{41}{15}m$，
满足要求.
即若滑块最终静止在轨道$FG$的中点，释放点距$B$点长度$l_x$的值可能为$\frac{13}{15}m, \frac{9}{5}m, \frac{41}{15}m$.