《2025年学霸高考黑题物理人教版》

压轴挑战 4 （倾斜传送带 + 多物体传送带）（2025·广西卷）图甲为某智能分装系统工作原理示意图，每个散货经倾斜传送带由底端 $A$ 运动到顶端 $B$ 后水平抛出，撞击冲量式传感器使其输出一个脉冲信号，随后竖直掉入已与水平传送带共速度的货箱中，此系统利用传感器探测散货的质量，自动调节水平传送带的速度，实现按规格分装。倾斜传送带与水平地面夹角为 $30°$，以速度 $v_0$ 匀速运行。若以相同的时间间隔 $\Delta t$ 将散货以几乎为 $0$ 的速度放置在倾斜传送带底端 $A$，从放置某个散货时开始计数，当放置第 $10$ 个散货时，第 $1$ 个散货恰好被水平抛出。散货与倾斜传送带间的动摩擦因数 $\mu = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，到达顶端前已与传送带共速。设散货与传感器撞击时间极短，撞击后竖直方向速度不变，水平速度变为 $0$。每个长度为 $d$ 的货箱装总质量为 $M$ 的一批散货。若货箱之间无间隔，重力加速度为 $g$。分装系统稳定运行后，连续装货，某段时间传感器输出的每个脉冲信号与横轴所围面积为 $I$ 如图乙，求这段时间内：
(1) 单个散货的质量。
(2) 水平传送带的平均传送速度大小。
(3) 倾斜传送带的平均输出功率。

答案：

(1)$\frac{I}{v_0}$
(2)$\frac{dI}{Mv_0\Delta t}$
(3)$\frac{I(2v_0 + 9g\Delta t)}{2\Delta t}$
解析:
(1)对单个散货水平方向由动量定理$-I = 0 - mv_0$，
解得单个散货的质量为$m = \frac{I}{v_0}$；
(2)落入货箱中散货的个数为$N = \frac{M}{m} = \frac{Mv_0}{I}$，
则水平传送带的平均传送速度大小为$\overline{v} = \frac{d}{N\Delta t} = \frac{dI}{Mv_0\Delta t}$；
(3)
解析技巧：每经过一个$\Delta t$的时间，传送带上发生的变化为：第1个被抛出，第2个取代第1个位置，第3个取代第2个位置，……，第10个取代第9个位置(由于此时第11个刚被放上，对该$\Delta t$内的做功无影响)。这一系列变化的总和相当于把一个物块从最底端运到最顶端，因此我们只要计算一个物块从底端到顶端做的功$W$，就有$W = P\Delta t$.

设倾斜传送带的长度为$L$，其中散货在加速阶段，由牛顿第二定律$\mu mg\cos30° - mg\sin30° = ma$，
解得$a = \frac{1}{4}g$，
加速时间$t_1 = \frac{v_0}{a} = \frac{4v_0}{g}$，加速位移$x_1 = \frac{1}{2}at_1^2 = \frac{2v_0^2}{g}$，
设匀速时间为$t_2$，其中$t_1 + t_2 = 9\Delta t$，
则匀速位移为$x_2 = v_0t_2 = v_0(9\Delta t - \frac{4v_0}{g})$，
故传送带的长度为$L = x_1 + x_2 = 9v_0\Delta t - \frac{2v_0^2}{g}$，
在加速阶段散货与传送带发生的相对位移为$\Delta x = v_0t_1 - x_1 = \frac{2v_0^2}{g}$
在$\Delta t$时间内传送带输出的功为$W = \frac{1}{2}mv_0^2 + mgL\sin30° + Q$，
其中$m = \frac{I}{v_0}$，$L = 9v_0\Delta t - \frac{2v_0^2}{g}$，$Q = \mu mg\cos30°\Delta x$，$\overline{P} = \frac{W}{\Delta t}$，
联立可得倾斜传送带的平均输出功率为$\overline{P} = \frac{I(2v_0 + 9g\Delta t)}{2\Delta t}$.