《2025年学霸高考黑题物理人教版》

经典真题 1（斜面模型 + 斜上抛运动 + 临界极值问题 + 运动的分解）（2020·山东卷）单板滑雪 U 形池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：U 形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为 $ 17.2° $。某次练习过程中，运动员以 $ v_M = 10 \, m/s $ 的速度从轨道边缘上的 $ M $ 点沿轨道的竖直切面 $ ABCD $ 滑出轨道，速度方向与轨道边缘线 $ AD $ 的夹角 $ \alpha = 72.8° $，腾空后沿轨道边缘的 $ N $ 点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动员可视为质点，不计空气阻力，重力加速度的大小 $ g $ 取 $ 10 \, m/s^2 $，$ \sin 72.8° = 0.96 $，$ \cos 72.8° = 0.30 $。求：
（1）运动员腾空过程中离开 $ AD $ 的距离的最大值 $ d $；
（2）$ M、N $ 之间的距离 $ L $。

答案： 1.【学霸三步解题思路】
步骤A 题干正向延伸
直接信息：
①轨道倾角为$17.2^{\circ}$
②从M点冲出的初速度$v_M = 10m/s$
③速度方向与轨道边缘线AD的夹角$\alpha = 72.8^{\circ}$
④$g = 10m/s^2$，$\sin72.8^{\circ} = 0.96$，$\cos72.8^{\circ} = 0.30$
间接信息：
①运动员在垂直于斜面的方向上（AB方向）：
假设垂直于斜面向上为正方向，初速度$v_0 = v_M\sin\alpha = 9.6m/s$，
加速度$a = -g\cos17.2^{\circ} = -9.6m/s^2$
②运动员在平行于斜面的方向上（AD方向）：
假设沿斜面向下为正方向，初速度$v_0' = v_M\cos\alpha = 3m/s$，
加速度$a' = g\sin17.2^{\circ} = 3m/s^2$
步骤B 设问反向推演
(1)运动员腾空过程中离开AD的距离的最大值$d$
运动员在垂直于斜面方向上做匀减速运动，当速度减为0时，离开AD的距离最大，即末速度$v = 0$
已知$v_0$、$v$、$a$，用速度—位移公式可求出$x$，$x$即为$d$
(2)$M$、$N$之间的距离$L$
运动员在沿斜面方向上做匀加速运动，已知初速度$v_0'$、加速度$a'$，求位移$x'(L)$
需知道时间$t'$
由$M$到$N$，运动员沿斜面分运动的时间与垂直于斜面分运动的时间相等，即$t' = t$
运动员垂直于斜面的分运动可以分为两段：上升和下降，两段运动的时间相等
步骤C 正反连接
(1)$v_0 = v_M\sin\alpha = 9.6m/s$，$a = -g\cos17.2^{\circ} = -9.6m/s^2$，$v = 0$，$v^2 - v_0^2 = 2ax$，$d = x$
(2)$v_0' = v_M\cos\alpha = 3m/s$，$a' = g\sin17.2^{\circ} = 3m/s^2$，$t' = 2·\frac{v - v_0}{a} = 2s$，
$L = x' = v_0't' + \frac{1}{2}a't'^2$
【答案】
(1)$4.8m$
(2)$12m$
解析：
(1)在M点，设运动员在ABCD平面内垂直AD方向的分速度为$v_1$，由运动的合成与分解规律得$v_1 = v_M\sin72.8^{\circ}$，
设运动员在ABCD平面内垂直AD方向的分加速度为$a_1$，由牛顿第二定律得$mg\cos17.2^{\circ} = ma_1$，
由运动学公式得$d = \frac{v_1^2}{2a_1}$，
联立①②③式，代入数据得$d = 4.8m$；
(2)在M点，设运动员在ABCD平面内平行AD方向的分速度为$v_2$，
由运动的合成与分解规律得$v_2 = v_M\cos72.8^{\circ}$，
设运动员在ABCD平面内平行AD方向的分加速度为$a_2$，由牛顿第二定律得$mg\sin17.2^{\circ} = ma_2$，
设腾空时间为$t'$，由运动学公式得$t' = \frac{2v_1}{a_1}$，
$L = v_2t' + \frac{1}{2}a_2t'^2$，
联立①②⑤⑥⑦⑧式，代入数据得$L = 12m$。

巩固训练 2(类斜抛模型 + 运动的分解)(2025·湖南衡阳二模)如图所示，一质点在光滑水平桌面上受水平恒力作用，先后经过 $ a、b $ 两点，速度方向偏转 $ 90° $。已知经过 $ a $ 点的速度大小为 $ v $、方向与 $ ab $ 连线夹角为 $ 60° $，$ ab $ 连线长度为 $ d $。对质点从 $ a $ 到 $ b $ 的运动过程，下列说法正确的是(C)


A.最小速度为 $ \frac{v}{2} $
B.运动时间为 $ \frac{d}{2v} $
C.经过 $ b $ 点的速度为 $ \sqrt{3}v $
D.恒力方向与 $ ab $ 连线的夹角为 $ 45° $

答案：
2.题型分析
类斜抛运动，运动的分解.
C 解析：BC.设恒力与$ab$连线的夹角为$\theta$，根据几何关系可知$b$点速度方向与$ab$连线的夹角为$30^{\circ}$。

该质点做类斜抛运动，在垂直于恒力方向上的速度大小不变，在恒力方向做匀变速直线运动，则在沿初速度方向上速度由$v$减小到0，
由匀变速直线运动规律有$d\cos60^{\circ}=\frac{vt}{2}$，
解得$a$到$b$的时间为$t=\frac{d}{v}$，
质点在$ab$方向上做匀变速直线运动，则沿$ab$方向的平均速度为
$\bar{v}=\frac{-v\cos60^{\circ}+v_b\cos30^{\circ}}{2}=\frac{d}{t}$，解得$v_b=\sqrt{3}v$，
故B错误，C正确；
AD.质点在垂直于恒力方向上速度不变，即$v\sin(\pi-\theta-60^{\circ})=v_b\sin(\theta-30^{\circ})$，
解得$\theta = 60^{\circ}$，
当质点沿恒力方向的速度为0时，质点的速度最小，此时质点的最小速度为$v_{min}=v·\cos(\theta+60^{\circ}-90^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}v$，
故AD错误.故选C.
解题技巧：A.如果最小速度为$\frac{v}{2}$，不难看出$ab$为“水平方向”，$b$点速度的水平分量为$\frac{v}{2}$，能看出$a$、$b$两点的速度竖直分量大小不相等，这与抛体运动模型不符，A排除；
B.运动时间为$\frac{d}{2v}$，可以看作$a$点所在的直角边$\frac{d}{2}$为位移，那么很明显这个方向上的分速度是变化的，而且小于$v$，故时间应该大于$\frac{d}{2v}$，B排除；
D.如果恒力方向与$ab$连线的夹角为$45^{\circ}$，则“水平方向”如图所示，

根据抛体运动模型，水平方向上的分速度应该相等，很明显图中$v_a$和$v_b$的分速度方向不同，不相等，D排除.