《2025年学霸高考黑题物理人教版》

压轴挑战 4 多个人船模型+斜抛运动
(2024·河北卷)如图，三块厚度相同、质量相等的木板 $ A $、$ B $、$ C $ (上表面均粗糙)并排静止在光滑水平面上，尺寸不计的智能机器人静止于 $ A $ 木板左端.已知三块木板质量均为 $ 2.0 \, kg $，$ A $ 木板长度为 $ 2.0 \, m $，机器人质量为 $ 6.0 \, kg $，重力加速度 $ g $ 取 $ 10 \, m/s^2 $，忽略空气阻力.
(1)机器人从 $ A $ 木板左端走到 $ A $ 木板右端时，求 $ A $、$ B $ 木板间的水平距离；
(2)机器人走到 $ A $ 木板右端相对木板静止后，以做功最少的方式从 $ A $ 木板右端跳到 $ B $ 木板左端，求起跳过程机器人做的功，及跳离瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值；
(3)若机器人以做功最少的方式跳到 $ B $ 木板左端后立刻与 $ B $ 木板相对静止，随即相对 $ B $ 木板连续不停地 $ 3 $ 次等间距跳到 $ B $ 木板右端，此时 $ B $ 木板恰好追上 $ A $ 木板.求该时刻 $ A $、$ C $ 两木板间距 $ x_{AC} $ 与 $ B $ 木板长度 $ L_B $ 的关系.

答案：
4.题型分析
本题涉及两个人船模型，在$A$板上是无初速度的人船模型，在$B$板上是有初速度的人船模型。
(1)$1.5 m$
(2)$90 J$
(3)$x_{AC} = \frac{7}{4}L_B$
解析：
(1)机器人从$A$木板左端走到$A$木板右端，机器人与$A$木板组成的系统动量守恒，设机器人质量为$M$，木板质量为$m$，在任意时刻，根据动量守恒有$Mv = mv_{A1}$。
取运动过程中每一段极短的时间$\Delta t$，则有$\sum Mv\Delta t = \sum mv_{A1}\Delta t$。
即$Mx = mx_{A1}$。
同时有$x + x_{A1} = L_A$，解得$A$、$B$木板间的水平距离$x_{A1} = \frac{3}{4}L_A = 1.5 m$。
(2)设机器人起跳的水平速度为$v_x$，竖直速度为$v_y$，起跳速度方向与水平方向的夹角为$\theta$，从$A$木板右端跳到$B$木板左端时间为$t$。
名师点评：做第
(2)问时，不需要考虑第
(1)问所设的$v_{A1}$，因为动量守恒是普适的，在起跳这一刻满足动量守恒，与之前的过程中机器人是走、跑或者跳都无关。
根据斜抛运动规律，水平方向有$v_xt = x_{A1}$，竖直方向有$2\frac{v_y}{g} = t$。
联立可得$v_y = \frac{15}{2v_x}$。
根据动量守恒有$Mv_x = mv_{A2}$。
根据功能关系可得机器人做功为$W = \frac{1}{2}M(v_x^2 + v_y^2) + \frac{1}{2}mv_{A2}^2 = \frac{675}{4v_x^2} + 12v_x^2 \geqslant 90 J$。
由不等式知识可得，当且仅当$\frac{675}{4v_x^2} = 12v_x^2$，即$v_x = \frac{\sqrt{15}}{2} m/s$时取等号。
此时$v_y = \sqrt{15} m/s$，则$\tan\theta = \frac{v_y}{v_x} = 2$，此时$v_{A2} = \frac{3\sqrt{15}}{2} m/s$。
综上，起跳过程中机器人做功的最小值为$90 J$，起跳瞬间速度与水平方向夹角的正切值为$2$。
名师点评：也可设起跳速度为$v$，分解斜抛运动可得$v\cos\theta· t = x_{A1}$，$2\frac{v\sin\theta}{g} = t$，联立解得$v^2 = \frac{45}{2\sin\theta\cos\theta}$，由动量守恒有$Mv\cos\theta = mv_{A2}$，代入机器人做功$W = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}mv_{A2}^2 = \frac{45 + 135\cos^2\theta}{2\sin\theta\cos\theta} J = \frac{(1 + 3\cos^2\theta)·45 J}{2\sin\theta\cos\theta} = \frac{\sin^2\theta + 4\cos^2\theta}{2\sin\theta\cos\theta}·45 J = (\frac{\tan\theta}{2} + \frac{2}{\tan\theta})·45 J \geqslant 2·\frac{\tan\theta}{2}·\frac{2}{\tan\theta}·45 J = 90 J$，根据不等式知识可得当$\frac{\tan\theta}{2} = \frac{2}{\tan\theta}$时，即$\tan\theta = 2$时，$W$取最小值。
(3)由
(2)可得，$A$木板在机器人跳离后以速度$v_{A2}$向左匀速运动，机器人跳上$B$木板的瞬间，机器人与$BC$木板组成的系统在水平方向动量守恒，得$Mv_x = (M + 2m)v_{共}$，$C$木板此后以速度$v_{共}$向右匀速运动。
该过程$A$木板向左运动的距离为$x_{A2} = v_{A2}t' = v_{A2}\frac{2v_y}{g} = 4.5 m$。
机器人连续$3$次等间距跳到$B$木板右端，整个过程机器人和$B$木板组成的系统水平方向动量守恒，设每次起跳机器人的水平速度大小为$v_0$，$B$木板的速度大小为$v_B$，机器人$3$次跳跃的总时间为$t_1$，取向右为正方向，如图所示。

由动量守恒得$(M + m)v_{共} = Mv_0 - mv_B·s①$。
机器人和$B$木板的相对位移为$B$木板长度$L_B$，得$(v_0 + v_B)t_1 = L_B·s②$。
机器人到$B$木板右端时，$B$木板恰好追上$A$木板，得$x_B - x_{A3} = x_{A1} + x_{A2}$，即$(v_B - v_{A2})t_1 = 6 m·s③$。
联立①②③解得$t_1 = \frac{3L_B}{4(v_{A2} + v_{共})}$。
故$A$、$C$两木板间距为$x_{AC} = v_{A2}t_1 + 6 + L_B + v_{共}t_1 = (v_{A2} + v_{共})t_1 + 6 + L_B$，解得$x_{AC} = \frac{7}{4}L_B$。
解题技巧：本题的难点在于机器人与$B$木板组成的是有初速度的人船模型，但可以采取一些方法规避这个初速度。
①取$C$木板为参考系（$C$木板做匀速运动，为惯性参考系），则$C$木板不动，$A$木板以大小为$(v_{A2} + v_{共})$的速度向左运动，机器人与$B$木板为无初速的人船模型，如下图所示，满足$Mx = mx$，$x + x = L_B$，解得$x = \frac{3}{4}L_B$，则有$x_{AC} = x + L_B = \frac{7}{4}L_B$。
②将机器人和$B$木板的运动视为整体以$v_{共}$的速度的向右匀速运动模型与人船模型，根据人船模型结论可得$Mx = mx$，$x + x = L_B$，解得$x = \frac{3}{4}L_B$，则$B$木板的实际位移$x = x - v_{共}t = \frac{3}{4}L_B - v_{共}t$，方向向左，则$x_{AC} = x + L_B + x_C = \frac{3}{4}L_B - v_{共}t + L_B + v_{共}t = \frac{7}{4}L_B$。