《2025年学霸高考黑题物理人教版》

经典真题 1 (斜面模型+追及相遇问题+运动学公式) (2021·河北卷节选) 如图，一滑雪道由$AB$和$BC$两段滑道组成，其中$AB$段倾角为$\theta$，$BC$段水平，$AB$段和$BC$段由一小段光滑圆弧连接.一个质量为$2\ kg$的背包在滑道顶端$A$处由静止滑下，若$1\ s$后质量为$48\ kg$的滑雪者从顶端以$1.5\ m/s$的初速度、$3\ m/s^2$的加速度匀加速追赶，恰好在坡底光滑圆弧的水平处追上背包并立即将其拎起.背包与滑道的动摩擦因数为$\mu = \frac{1}{12}$，重力加速度取$g = 10\ m/s^2$，$\sin\theta = \frac{7}{25}$，$\cos\theta = \frac{24}{25}$，忽略空气阻力及拎包过程中滑雪者与背包的重心变化.求滑道$AB$段的长度.

答案：
1.【学霸三步解题思路】
步骤A 题干正向延伸
直接信息：
①背包的质量$m=2 kg$，初速度为0，与斜面的动摩擦因数$\mu=\frac{1}{12}$
②滑雪者的初速度$v_0=1.5 m/s$，加速度$a_2=3 m/s^2$
③斜面的倾角为$\theta$
④两者在斜面上的位移相等，时间相差$1 s$
间接信息：
背包的加速度$a_1=2 m/s^2(mg\sin\theta-\mu mg\cos\theta=ma_1)$
步骤B 设问反向推演
求滑道$AB$段的长度
$\Rightarrow$用位移公式表示滑雪者和背包的位移，即滑道的长度
$\Rightarrow$利用位移相等列方程，求出时间
$\Rightarrow$代入时间，求出滑道$AB$段的长度
步骤C 正反连接
设滑雪者在斜面上的运动时间为$t$，则有$\frac{1}{2}a_1(t + 1 s)^2=v_0t+\frac{1}{2}a_2t^2$
【答案】$9 m$
解析：背包在斜面上运动，受力分析如图所示，

背包的质量$m = 2 kg$，设加速度为$a_1$，
由牛顿第二定律可知：$mg\sin\theta - f = mg\sin\theta-\mu mg\cos\theta=ma_1$，
解得：$a_1=2 m/s^2$，
设斜面长度为$L$，滑雪者在斜面上的运动时间为$t$，
初速度$v_0=1.5 m/s$，加速度$a_2=3 m/s^2$，
背包从斜面滑下过程中有：$L=\frac{1}{2}a_1(t + 1 s)^2$，
滑雪者在斜面滑动过程中有：$L=v_0t+\frac{1}{2}a_2t^2$，
解得：$t = 2 s$或$t=-1 s$（舍去），
故可得：$L = 9 m$。
名师点评：相遇问题的本质即在同一时刻，两物体在同一位置，所以需要通过两物体的初、末位置关系（即位移关系）列出方程.若方程有且仅有一个正根，则只相遇1次；若有两个正根，则可相遇2次；若没有正根，则追不上.

巩固训练 2 (追及相遇问题+$x-t$图像+$x-v^2$图像) (2025·河南郑州模拟) (多选) 为了测试某种遥控玩具小汽车的性能，生产厂家用两辆完全相同的小车$a$、$b$进行测试.$t = 0$时刻让两玩具小车并排同向行驶，其中小车$a$做匀加速直线运动，其$x-t$图像如图甲所示，小车$b$的$x - v^2$图像如图乙所示，则(BCD)


A.$t = 0$时刻$a$车的速度大小为$1\ m/s$
B.两车速度相等时相距$4\ m$
C.两车在途中相遇时，$b$车的速度大小为$2\ m/s$
D.$b$车停止运动时，$a$车在其前方$12\ m$处

答案： 2.题型分析
本题为图像问题，从图像中分析出各自的运动状态，通过写解析式可以得出$b$车做匀减速运动，属于【类型1③】匀加速追匀减速.
BCD 解析：A.由于$a$车做匀加速直线运动，设$t = 0$时刻$a$车的速度为$v_{0a}$，加速度大小为$a_1$，结合图甲，有$2.5 m=(v_{0a}×1+\frac{1}{2}a_1×1^2) m$，$6 m=(v_{0a}×2+\frac{1}{2}a_1×2^2) m$，解得$v_{0a}=2 m/s$，$a_1=1 m/s^2$，A错误；
B.由$v^2 - v_0^2=2ax$，可知$x=\frac{1}{2}-\frac{v_0^2}{2a}=18$，$b$车的初速度$v_{0b}=6 m/s$，加速度$a_2=-1 m/s^2$，设经过时间$t_1$两车速度相等，故有$v_{0a}+a_1t_1=v_{0b}+a_2t_1$，联立解得$t_1=2 s$，则$a$车的位移大小为$x_a=v_{0a}t_1+\frac{1}{2}a_1t_1^2=6 m$，同理可得$b$车的位移大小为$x_b=10 m$，此时两车的距离为$\Delta x_1=x_b - x_a=4 m$，B正确；
C.设两车相遇所用的时间为$t_2$，则有$v_{0a}t_2+\frac{1}{2}a_1t_2^2=v_{0b}t_2+\frac{1}{2}a_2t_2^2$，解得$t_2=4 s$，此时$b$车的速度大小为$v_b=2 m/s$，C正确；
D.设$b$车停止运动所需要的时间为$t_3$，则有$v_{0b}+a_2t_3=0$，解得$t_3=6 s$，则此时$a$车的位移大小为$x_a'=v_{0a}t_3+\frac{1}{2}a_1t_3^2=30 m$，$b$车的位移大小为$x_b'=\frac{v_{0b}}{2}t_3=18 m$，故当$b$车停止运动时，$a$车在其前方$12 m$处，D正确.故选BCD.

巩固训练 3 (追及相遇问题+临界极值问题) (2025·河南信阳二模) 如图所示，甲、乙两名运动员在训练$2× 400\ m$接力赛跑.甲、乙两名运动员 (均视为质点) 的起跑过程均可视为初速度为$0$、加速度大小为$a = 2\ m/s^2$的匀加速直线运动，经加速后都能达到并保持$v_m = 8\ m/s$的最大速度跑完全程.接力区前端为第一个$400\ m$的终点和第二个$400\ m$的起点，已知接力区的长度$L = 18\ m$，乙在接力区前端听到奔跑的甲发出的口令时立即起跑 (不计乙的反应时间)，在甲、乙相遇时完成交接棒 (不计交接棒的时间)，交接棒必须在接力区内完成，假设交接棒动作不影响两运动员的速度大小.
(1) 求乙通过接力区的最短时间$t_{min}$；
(2) 若甲在距离接力区前端$\Delta x = 16\ m$处对乙发出起跑口令，求从发出起跑口令到甲、乙交接棒所用的时间$t$；
(3) 若接力区的长度只有$L' = 9\ m$，为使他们取得最好的成绩，求甲对乙发出起跑口令时到接力区前端的距离$\Delta x$及从甲开始起跑到跑至终点所用的时间$t$.

答案： 3.题型分析
本题属于【类型2⑥】匀速追匀加速.
(1)$4.25 s$
(2)$4 s$
(3)$15 m$ $102.125 s$
解析：
(1)乙起跑后先做匀加速直线运动，有$v_m=a_1t_1$，$v_m^2=2ax_1$，
解得$t_1=4 s$，$x_1=16 m$，
然后乙以最大速度跑完剩余距离，则有$t_2=\frac{L - x_1}{v_m}$，
乙通过接力区的最短时间$t_{\min}=t_1+t_2=4.25 s$
(2)假设甲追上乙时，乙并未匀速运动，有$\Delta x=v_mt-\frac{1}{2}at^2$，
解得$t = 4 s=t_1$，假设成立.
(3)由于$L'＜x_1$，甲、乙不可能在乙达到最大速度时完成交接棒，为取得最好的成绩，应在乙跑至接力区末端时完成交接棒，有$L'=\frac{1}{2}at_3^2$，
解得$t_3=3 s$，
乙起跑时与甲的距离$\Delta x'=v_mt_3 - L'=15 m$，
这种情况下，接力棒有两段时间在做匀加速直线运动，加速运动的位移$x_{加}=x_1+(x_1 - L')$，
接力棒加速运动的时间$t_{加}=t_1+(t_1 - t_3)$，
剩余时间内接力棒随运动员在做匀速直线运动，有$t_{匀}=\frac{x - x_{加}}{v_m}$
从甲开始起跑到乙跑至终点的时间$t'=t_{加}+t_{匀}=102.125 s$.