《2025年学霸高考黑题物理人教版》

压轴挑战 6（抽气问题+受力分析） (2023·湖南卷) 汽车刹车助力装置能有效为驾驶员踩刹车省力。如图，刹车助力装置可简化为助力气室和抽气气室等部分构成，连杆$AB$与助力活塞固定为一体，驾驶员踩刹车时，在连杆$AB$上施加水平力推动液压泵实现刹车。助力气室与抽气气室用细管连接，通过抽气降低助力气室压强，利用大气压与助力气室的压强差实现刹车助力。每次抽气时，$K_{1}$打开，$K_{2}$闭合，抽气活塞在外力作用下从抽气气室最下端向上运动，助力气室中的气体充满抽气气室，达到两气室压强相等；然后，$K_{1}$闭合，$K_{2}$打开，抽气活塞向下运动，抽气气室中的全部气体从$K_{2}$排出，完成一次抽气过程。已知助力气室容积为$V_{0}$，初始压强等于外部大气压强$p_{0}$，助力活塞横截面积为$S$，抽气气室的容积为$V_{1}$。假设抽气过程中，助力活塞保持不动，气体可视为理想气体，温度保持不变。
(1) 求第$1$次抽气之后助力气室内的压强$p_{1}$；
(2) 第$n$次抽气后，求该刹车助力装置为驾驶员省力的大小$\Delta F$。
]

答案： 6.题型分析
本题属于应用场景下的多次抽气问题，需要和多次充气问题进行区分，每次抽气后，助力气室内的压强均有减小，抽出的气体压强也在减小，随着抽气次数的增加，形成助力气室气体压强逐次减小的效果.
(1)$\frac{V_0}{V_0+V_1}p_0$
(2)$[1-(\frac{V_0}{V_0+V_1})^n]p_0S$
解析：
(1)以助力气室内的气体为研究对象，则初态压强为$p_0$，体积为$V_0$，第一次抽气后，气体体积$V=V_0+V_1$，
根据玻意耳定律$p_0V_0=p_1V$，
解得$p_1=\frac{V_0}{V_0+V_1}p_0$；
(2)同理第二次抽气$p_1V_0=p_2V$，
解得$p_2=\frac{p_1V_0}{V_0+V_1}=(\frac{V_0}{V_0+V_1})^2p_0$，
以此类推……
则当n次抽气后助力气室内的气体压强$p_n=(\frac{V_0}{V_0+V_1})^np_0$，
则刹车助力系统为驾驶员省力大小为$\Delta F=(p_0-p_n)S=[1-(\frac{V_0}{V_0+V_1})^n]p_0S$.

压轴挑战 7（放气问题+浮力与液体压强） (2022·山东卷) 某些鱼类通过调节体内鱼鳔的体积实现浮沉。如图所示，鱼鳔结构可简化为通过阀门相连的$A$、$B$两个密闭气室，$A$室壁厚，可认为体积恒定，$B$室壁薄，体积可变；两室内气体视为理想气体，可通过阀门进行交换。质量为$M$的鱼静止在水面下$H$处，$B$室内气体体积为$V$，质量为$m$；设$B$室内气体压强与鱼体外压强相等，鱼体积的变化与$B$室气体体积的变化相等，鱼的质量不变，鱼鳔内气体温度不变。水的密度为$\rho$，重力加速度为$g$，大气压强为$p_{0}$。求：
(1) 鱼通过增加$B$室体积获得大小为$a$的加速度，需从$A$室充入$B$室的气体质量$\Delta m$；
(2) 鱼静止于水面下$H_{1}$处时，$B$室内气体质量$m_{1}$。
]

答案： 7.题型分析
根据鱼的运动情况，可以视为A室向B室充气或B室向A室放气的水下浮力问题.在第
(2)问中要注意的是鱼静止在水中时，恒有$Mg=\rho gV_{排}$，即B室的体积相同是题中的隐含条件.
(1)$\frac{Mma}{\rho gV}$
(2)$\frac{\rho gH_1+p_0}{\rho gH+p_0}m$
解析：
(1)由题知开始时鱼静止在H处，设此时鱼的体积为$V_0$，有$Mg=\rho gV_0$，
设鱼从A室充入B室的气体体积为$\Delta V$，鱼的加速度为a时，有$\rho g·(V_0+\Delta V)-Mg=Ma$，解得$\Delta V=\frac{Ma}{\rho g}$
已知B室内气体体积为V，质量为m，则$\rho_{气}=\frac{m}{V}$，
则从A室充入B室的气体质量$\Delta m=\rho_{气}\Delta V=\frac{Mma}{\rho gV}$；
(2)由于鱼依旧静止，在水下$H_1$处有$Mg=\rho gV_0$，即静止在不同的高度时，B室的体积V不变，但压强会随着深度的变化而变化；
已知鱼鳔内气体温度不变，静止在水面下$H_1$处时，B室压强为$p=\rho gH_1+p_0$，体积为V，并且此时从A室中向B室充入部分气体使其上浮到$H_1$(或从B室中向A室放出部分气体使其下沉到$H_1$)，这部分气体体积记为$p=\rho gH_1+p_0$条件下的$\Delta V'$(同时规定$\Delta V'＞0$时会上浮，$\Delta V'＜0$时会下沉)，
静止在水面下$H_1$处时，B室压强为$p_1=\rho gH_1+p_0$，体积为V，
由一定质量的理想气体状态方程可得$p(V+\Delta V')=p_1V$，
解得$\Delta V'=\frac{(p_1-p)V}{p}=\frac{\rho g(H_1-H)V}{\rho gH+p_0}$
由
(1)可知$p=\rho gH+p_0$时气体密度$\rho_{气}=\frac{m}{V}$，
所以$m_1=m+\rho_{气}\Delta V'=m+\frac{\rho g(H_1-H)m}{\rho gH+p_0}=\frac{\rho gH_1+p_0}{\rho gH+p_0}m$.