《2025年学霸高考黑题物理人教版》

经典真题 1 反冲模型+平抛运动
(2021·天津卷)一玩具以初速度 $ v_0 $ 从水平地面竖直向上抛出，达到最高点时，用遥控器将玩具内压缩的轻弹簧弹开，该玩具沿水平方向分裂成质量之比为 $ 1:4 $ 的两部分，此时它们的动能之和与玩具从地面抛出时的动能相等.弹簧弹开的时间极短，不计空气阻力.求：
(1)玩具上升到最大高度 $ \dfrac{3}{4} $ 时的速度大小；
(2)两部分落地时速度大小之比.

答案： 1.【学霸三步解题思路】
步骤A 题干正向延伸
直接信息：
①假设正方向为向上，加速度$a = -g$，初速度为$v_0$，竖直运动末速度为$0$
②设玩具质量为$5m$，分裂后左右两半质量分别为$m$、$4m$，速度分别为$v_1$、$v_2$
间接信息：
①玩具上升的最大高度$h = \frac{v_0^2}{2g}$
②玩具在最高点弹开时间极短，可用动量守恒
③分裂后两部分落地时的竖直分速度大小都为$v_0$
④$\frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}×4mv_2^2 = \frac{1}{2}×5mv_0^2$
步骤B 设问反向推演
(1)玩具上升到最大高度$\frac{3}{4}$时的速度大小
$\Leftrightarrow$玩具上升到最大高度$\frac{3}{4}$时的位移为$-\frac{3}{4}h$
$\Leftrightarrow$已知初速度、加速度、位移，可以根据速度—位移公式求出末速度
(2)两部分落地时速度大小之比
$\Leftrightarrow$两部分落地时的速度都是竖直分速度和水平分速度的合速度
$\Leftrightarrow$竖直分速度大小都等于初速度$v_0$
$\Leftrightarrow$两部分的水平分速度都等于在最高点弹开后的速度
$\Leftrightarrow$在最高点列动量守恒和动能的关系式
步骤C 正反连接
(1)$a = -g$，$h = \frac{v_0^2}{2g}$，$x = -\frac{3}{4}h$，$v^2 - v_0^2 = 2ax$
(2)$mv_1 - 4mv_2 = 0$，$\frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}×4mv_2^2 = \frac{1}{2}×5mv_0^2$，$v_1' = \sqrt{v_0^2 + v_1^2}$，$v_2' = \sqrt{v_0^2 + v_2^2}$，可以求出$v_1'$与$v_2'$的比值
【答案】
(1)$\frac{1}{2}v_0$
(2)$2:1$
解析：
(1)设玩具上升的最大高度为$h$，玩具上升到高度$\frac{3}{4}h$时的速度大小为$v$，重力加速度大小为$g$，以初速度方向为正，整个运动过程有$0 - v_0^2 = -2gh$。
玩具上升到最大高度$\frac{3}{4}$时，有$v^2 - v_0^2 = 2g(-\frac{3}{4}h)$。
两式联立解得$v = \frac{1}{2}v_0$。
(2)设玩具分开时两部分的质量分别为$m_1$、$m_2$，水平速度大小分别为$v_1$、$v_2$。依题意，动能关系为$\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v_0^2$。
玩具达到最高点时速度为零，两部分分开时速度方向相反，水平方向动量守恒，有$m_1v_1 - m_2v_2 = 0$。
分开后两部分做平抛运动，由运动学关系，两部分落回地面时，竖直方向分速度大小为$v_0$，设两部分落地时的速度大小分别为$v_1'$、$v_2'$，由速度合成公式，有$v_1' = \sqrt{v_0^2 + v_1^2}$，$v_2' = \sqrt{v_0^2 + v_2^2}$。
结合$m_1:m_2 = 1:4$，解得$\frac{v_1'}{v_2'} = 2$，即两部分落地时速度大小之比为$2:1$。

(2025·江苏南京中华中学期末)如图，质量为 $ 2m $、带有半圆形轨道的小车静止在光滑的水平地面上，其水平直径 $ AB $ 长度为 $ 2R $，现将质量为 $ m $ 的小球从 $ A $ 点正上方 $ h_0 $ 高处由静止释放，然后由 $ A $ 点进入半圆形轨道后从 $ B $ 点冲出，在空中上升的最大高度为 $ \dfrac{3}{4}h_0 $ (不计空气阻力)，则
(D)


A.小球和小车组成的系统动量守恒
B.小球离开小车后做斜上抛运动
C.小车向左运动的最大距离为 $ \dfrac{1}{3}R $
D.小球第二次上升距 $ A $ 点的最大高度 $ H ＞ \dfrac{1}{2}h_0 $

答案： 2.题型分析
本题属于类人船模型与功能关系组合问题。
D 解析：A.小球与小车组成的系统在水平方向所受合外力为零，系统在水平方向上动量守恒；小球与小车组成的系统在竖直方向所受合外力不为零，系统在竖直方向上动量不守恒，因此小球和小车组成的系统动量不守恒，故A错误；B.小球与小车组成的系统水平方向动量守恒，系统水平方向动量为零，小球离开小车时小球与小车水平方向速度均为零，小球离开小车后做竖直上抛运动，故B错误；C.当小球向右运动时，设任一时刻小球速度的水平分量大小为$v$，小车的速度大小为$v'$，以向右为正方向，根据系统水平方向动量守恒，得$0 = mv - 2mv'$，解得$v = 2v'$，则小球在水平方向的位移大小$x$等于小车在水平方向的位移大小$x'$的$2$倍，即$x = 2x'$，又有$x + x' = 2R$，解得小车向左运动的最大距离$x' = \frac{2R}{3}$，故C错误；D.设小球第一次在小车上运动的过程中克服摩擦力做的功为$W_1$，由功能关系得$W_1 = mg(h_0 - \frac{3}{4}h_0) = \frac{1}{4}mgh_0$，相比第一次在小车上运动，小球第二次在小车上运动的过程中，任一对应位置处速度变小，小车对小球的弹力变小，小球受到的摩擦力变小，小球克服摩擦做的功$W_2 ＜ W_1$，设小球第二次能上升的最大高度为$H$，根据功能关系可得$W_2 = mg(\frac{3}{4}h_0 - H) ＜ \frac{1}{4}mgh_0$，解得$H ＞ \frac{1}{2}h_0$，故D正确。故选D。

(2025·安徽阜阳一中期中)如图所示，足够长的光滑水平地面上静置一辆小车，长 $ L = 0.3 \, m $、不可伸长的轻质柔软细绳一端固定在车厢顶部，另一端系一质量 $ m = 1.98 \, kg $ 的木块(可视为质点)，质量 $ m_0 = 20 \, g $ 的子弹以 $ v_0 = 200 \, m/s $ 的速度水平射入木块并留在其中，此后绳与竖直方向的最大夹角 $ \theta = 60° $，重力加速度大小 $ g $ 取 $ 10 \, m/s^2 $.求：
(1)子弹射入木块时产生的热量 $ Q $；
(2)小车的最大速度 $ v_{max} $；
(3)若小车从开始运动到第一次达到最大速度的过程中，所用时间为 $ \dfrac{7\sqrt{3}}{20} \, s $，则小车的位移为多少.

答案： 3.题型分析
本题属于类人船模型与子弹打木块模型组合问题。
(1)$396 J$
(2)$1 m/s$
(3)$\frac{7\sqrt{3}}{40} m$
解析：
(1)设子弹射入木块后的速度大小为$v_1$，由动量定理得$m_0v_0 = (m + m_0)v_1$。
产生的热量为$Q = \frac{1}{2}m_0v_0^2 - \frac{1}{2}(m_0 + m)v_1^2$，联立解得$Q = 396 J$。
(2)设小车的质量为$M$，木块与小车共速时大小为$v_2$，木块第一次回到最低点时，小车的速度最大，设此时木块的速度为$v_3$。
系统在水平方向动量守恒，则有$m_0v_0 = (m_0 + m + M)v_2$。
木块第一次回到最低点时，小车的速度最大时有$m_0v_0 = (m_0 + m)v_3 + Mv_{max}$。
由能量守恒有$\frac{1}{2}(m_0 + m)v_0^2 = \frac{1}{2}(m_0 + m + M)v_2^2 + (m_0 + m)gL(1 - \cos\theta)$，又$\frac{1}{2}(m_0 + m)v_3^2 = \frac{1}{2}(m_0 + m)v_{max}^2 + \frac{1}{2}Mv_{max}^2$，联立解得$v_{max} = 1 m/s$，$M = 6 kg$。
(3)根据水平方向动量守恒$m_0v_0 = (m_0 + m)v_3 + Mv_{max}$。
两边均乘时间$m_0v_0t = (m_0 + m)v_3t + Mv_{max}t$。
而小车从开始运动到第一次达到最大速度的过程中木块水平位移和小车水平位移相同，设为$x$，则$m_0v_0t = (m_0 + m)x + Mx$，代入解得$x = \frac{7\sqrt{3}}{40} m$。
名师点评：变加速直线运动涉及时间时，通常将$Ft = I$或$ut = x$作为解题思路切入点。